高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数课后练习题

10.2　二倍角的三角函数

基础过关练

题组一　利用倍角公式解给角求值问题

1.sincos的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C. D.

2.sin4-cos4的值为(　　)

A. B.- C. D.-

3.(2020江苏苏州实验中学高一期中)-的值为(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

4.(2020江苏白塔高级中学月考)计算:=　　　　.

题组二　利用倍角公式解条件求值问题

5.已知cos x=,则cos 2x=(　　)

A.- B. C.- D.

6.已知sin α-cos α=,则sin 2α=(　　)

A.- B.- C. D.

7.若tan α=,则cos2α+2sin 2α=　　　　.

8.已知α是第三象限角,cos α=-,则sin 2α=　　　　.

9.已知tan α=2,则的值为　　　　.

10.(2020江苏南京秦淮高一下学期期中)已知α∈,sin α=.

(1)求sin 2α的值;

(2)求cos的值.

题组三　倍角公式的综合应用

11.已知sin=,cos=-,则角α的终边所在的象限是(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

12.(2020江苏南通中学高一期中)函数y=2sin2-1是(　　)

A.最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为2π的奇函数

C.最小正周期为π的偶函数

D.最小正周期为2π的偶函数

13.函数f(x)=5cos2x+sin2x-4sin xcos x的最小值为　　　　,此时x的值为　　　　.

14.已知α∈,求证:+=-2sin.

15.已知向量a=(sin A,cos A),b=(,-1),a·b=1,且A为锐角.

(1)求角A的大小;

(2)求函数f(x)=cos 2x+4cos Asin x(x∈R)的值域.

能力提升练

题组一　利用倍角公式解给角求值问题

1.(多选)()下列式子中,值为的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.cos 72°cos 36° 

B.sinsin

C.-cos215° 

D.+

2.()化简:cos2-sin2=　　　　.

3.(2020江苏江阴高级中学期中,)计算:coscos·coscos=　　　　.

题组二　利用倍角公式解条件求角或求值问题

4.(2019山西吕梁高三上学期第一次模拟,)已知α∈,β∈,tan α=,则(　　)

A.α+β= B.α-β=

C.α+β= D.α+2β=

5.(2020江苏连云港高一下学期期中,)设α为锐角,若cos=,则sin的值为(　　)

A. B.

C. D.

6.()已知sin=-,8π<α<12π,则tan=　　　　.

7.(2020江苏常州教学联盟高一期中,)若tan α+=,α∈,则sin+2coscos2α的值为　　　　.

8.(2020江苏百校高三大联考,)若5cos 2α+6sin=0,α∈,则sin 2α=　　　　.

题组三　倍角公式的综合应用

9.(2020江苏镇江高三上学期第一次调研考试,)记集合A=[a,b],当θ∈时,函数f(θ)=2sin θcos θ+2cos2θ的值域为B,若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则b-a的最小值是　　　　. 

10.()求证:=tan4A.

深度解析

11.(2020江苏常熟高一期中,)已知函数f(x)=sin+cos+2cos2x-1.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若α∈且f(α)=,求cos 2α的值.

12.(2020江苏东台三仓中学高一上学期月考,)已知a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),函数f(x)=a·b+2sin xcos x+1.

(1)求函数f(x)的最小正周期及图象的对称中心;

(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调增区间.

答案全解全析

10.2　二倍角的三角函数

基础过关练

1.C　原式=sin=.

2.B　原式=sin2+cos2·sin2-cos2

=-cos2-sin2=-cos=-.

3.B　-

=

===4.

4.答案　1-

解析　=·

=tan 15°=tan(45°-30°)=×=1-.

5.D　由cos x=得cos 2x=2cos2x-1=2×-1=.

6.A　由sin α-cos α=得(sin α-cos α)2=,即1-sin 2α=,所以sin 2α=-.

7.答案　

解析　cos2α+2sin 2α==.

把tan α=代入,得原式===.

8.答案　

解析　由α是第三象限角,且cos α=-,得sin α=-,

所以sin 2α=2sin αcos α=2××=.

9.答案　1

解析　∵tan α=2,

∴

=

===1.

10.解析　(1)由sin α=,α∈,得cos α==,

所以sin 2α=2sin αcos α=.

(2)因为sin α=,

所以cos 2α=1-2sin2α=,

所以cos=coscos 2α+sin·sin 2α=×+×=.

11.C　∵sin α=2sincos=2××=-<0,

cos α=cos2-sin2=-=-<0,

∴角α的终边所在的象限是第三象限.

12.A　∵y=2sin2-1=-1-2sin2x-=-cos=-sin 2x,

∴T==π,

故函数y=2sin2-1是最小正周期为π的奇函数.

13.答案　3-2;

解析　f(x)=5cos2x+sin2x-4sin xcos x

=5×+×-2sin 2x

=2cos 2x-2sin 2x+3

=4cos+3,

∵≤x≤,

∴≤2x+≤,

∴-≤cos≤-.

当cos=-时,f(x)有最小值3-2,此时2x+=,解得x=.

14.证明　因为α∈,

所以∈,

所以左边=sin+cos+sin-cos

=-sin-cos-sin+cos

=-2sin=右边,所以原等式成立.

15.解析　(1)由题意得a·b=sin A-cos A=1,所以2sin=1,

即sin=.

由A为锐角得A-=,所以A=.

(2)由(1)可得cos A=,

所以f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2+.

因为x∈R,所以sin x∈[-1,1],

所以当sin x=时, f(x)有最大值,

当sin x=-1时, f(x)有最小值-3,

所以函数f(x)的值域是.

能力提升练

1.AB　对于A,cos 72°cos 36°==

====;

对于B,sinsin=sinsin-=sincos=sin=;

对于C,-cos215°=-(2cos215°-1)=-cos 30°=-;

对于D,+

==

==

==4.故选AB.

2.答案　cos x

解析　原式=-

=

=

=(cos x-sin x)+(cos x+sin x)

=cos x.

3.答案　

解析　解法一:coscoscoscos=coscoscos

=·

=·

=·

=·=·

=·=.

解法二:由sin 2α=2sin αcos α,得cos α=,

∴原式=···=.

4.B　tan α=

=

=

===tan,

因为α∈,β∈,

所以α=+β,

即α-β=.故选B.

5.A　∵α为锐角,cos=,

∴sin=,

∴sin=2sincosα+=,

cos=2cos2-1=.

故sin=sin

=sincos-cossin

=×-×=.

6.答案　

解析　∵8π<α<12π,

∴π<<,

∴cos=-=-,

∴sin=2sincos=2××=,

cos=2cos2-1=2×-1=,

∴tan==.

7.答案　0

解析　由tan α+=,

得tan α=或tan α =3.

又∵α∈,

∴tan α=3.

∴sin α=,cos α=.

∴sin+2coscos2α

=sin 2αcos+cos 2αsin+2coscos2α

=×2sin αcos α+(2cos2α-1)+cos2α

=sin αcos α+2cos2α-

=××+2×-

=-=0.

8.答案　-1

解析　因为5cos 2α+6sin=0,

所以5sin+6sin=0,

所以10sincos+6sinα+=0,

所以sin=0,

即sin=0或cos=-.

当sin=0时,

因为α∈,

所以α+∈,

所以α+=π,所以α=,所以2α=,所以sin 2α=sin=-1.

当cos=-时,

cos αcos-sin αsin=-,

所以(cos α-sin α)=-,

所以(cos2α+sin2α-2sin αcos α)=,

所以1-sin 2α=,

所以sin 2α=.

因为α∈,

所以2α∈(π,2π),

所以sin 2α<0,

故sin 2α=不符合,应舍去.

故sin 2α=-1.

9.答案　3

解析　f(θ)=(2sin θcos θ)+(1+cos 2θ)

=sin 2θ+cos 2θ+1=2sin+1,

∵θ∈,

∴2θ+∈,

∴f(θ)∈[0,3],

即B=[0,3],

若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则B⊆A,

∴

∴b-a≥3.故b-a的最小值为3.

10.证明　左边==

=

==

=(tan2A)2=tan4A=右边,

故=tan4A.

解题模板　证明恒等式的一般思路是从复杂的一端向简单的一端证明,需找“差异”,最后左右统一.

11.解析　(1)因为f(x)=sin 2x-cos 2x+cos 2x+sin 2x+cos 2x

=sin 2x+cos 2x=sin.

所以函数f(x)的最小正周期T==π.

(2)因为f(α)=,

所以sin=,

即sin=,

因为≤α≤,

所以≤2α+≤,

所以cos=-=-=-,

所以cos 2α=cos

=coscos+sin2α+·sin

=-×+×=-.

12.解析　(1)f(x)=sin4x-cos4x+2sin xcos x+1

=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin 2x+1

=sin 2x-cos 2x+1=2sin+1.

所以函数f(x)的最小正周期T==π,

令2x-=kπ,k∈Z,

则x=+,k∈Z,所以图象的对称中心为,k∈Z.

(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

当k=0时,由

解得0≤x≤;

当k=1时,由

解得≤x≤π.

所以函数f(x)在[0,π]上的单调增区间是,.