人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时精练

第四章　4.4　4.4.2　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　C　)

A．{x|x＞－1}　　　　 B．{x|x＜1}

C．{x|－1＜x＜1} D．∅

[解析]　由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞－1}，则M∩N＝{x|－1＜x＜1}，故选C．

2．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是(　D　)

A．R B．[0，＋∞)

C．(－∞，1] D．[0,1]

[解析]　∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D．

3．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　A　)

A．5　　　　　　　　 B．

C． D．

[解析]　∵函数y＝logax的图象一直上升，

∴函数y＝logax为单调增函数，∴a＞1，故选A．

4．已知loga>logb>0，则a，b的取值范围是(　C　)

A．1<b<a B．1<a<b

C．0<b<a<1 D．0<a<b<1

[解析]　由loga>logb>0，得－loga3>－logb3>0，得loga3<logb3<0，得<<0，得log3b<log3a<0，得0<b<a<1.

5．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是(　B　)

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

[解析]　∵3x＋3－x＞0恒成立，

∴f(x)的定义域为R.

又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数，故选B．

6．(2019·山东潍坊市高一期末测试)已知函数f(x)＝，则f[f()]的值为(　C　)

A．1 B．

C．2 D．4

[解析]　∵x>0时，f(x)＝log2x，∴f()＝log2＝log22－4＝－4，

又x≤0时，f(x)＝(－x)，

∴f(－4)＝4＝2.

∴f[f()]＝f(－4)＝2.

二、填空题

7．已知f(x)＝log9x，则f(3)＝____.

[解析]　f(3)＝log93＝log99＝.

8．函数y＝的定义域为__(0，]__.

[解析]　要使函数有意义，须x－1≥0，

∴x≥1，∴0<x≤.

∴定义域为(0，]．

9．函数f(x)＝log(2x＋9)的值域为__(－∞，－2)__.

[解析]　f(x)的定义域为R，又2x>0，

所以2x＋9>9.

因为y＝x在(0，＋∞)上单调递减，

所以(2x＋9)< 9＝－2.

即f(x)的值域为(－∞，－2)．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝lg|x|.

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)画出函数f(x)的图象．

[解析]　(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．

f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，

∴f(－x)＝f(x)．

∴函数f(x)是偶函数．

(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lgx(x>0)的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lgx(x>0)的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．

11．求下列函数的反函数．

(1)y＝10x；(2)y＝()x；(3)y＝x；(4)y＝log7x.

[解析]　(1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lgx(x>0)．

(2)指数函数y＝()x，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx(x>0)．

(3)对数函数y＝x，它底数是，它的反函数是指数函数y＝()x.

(4)对数函数y＝log7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.

B组·素养提升

一、选择题

1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)等于(　A　)

A．x B．log2x

C． D．x2

[解析]　由题意知f(x)＝logax，又f()＝a，∴loga＝a，∴a＝，∴f(x)＝x，故选A．

2．(2019·山东莒县一中高一期末测试)已知函数y＝loga(x＋1)＋3＋x(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则b＝(　C　)

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析]　令x＋1＝1，则x＝0，

y＝3，∴A(0,3)．

∴3＝20＋b，∴b＝2.

3．(多选题)函数f(x)＝loga|x－2|在(2，＋∞)上单调递减，那么f(x)在(0,2)上(　ABC　)

A．单调递增 B．无最小值

C．无最大值 D．单调递减

[解析]　因为函数f(x)＝loga|x－2|在(2，＋∞)上单调递减，并且y＝|x－2|在(2，＋∞)上单调递增，所以0<a<1，那么f(x)在(0,2)上单调递增，且无最大值，也无最小值．

4．(多选题)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　ABC　)

A．k<0,0<b<1 B．k>0，b>1

C．f()g(1)>0(x>0) D．x>1时，f(x)－g(x)>0

[解析]　由直线方程可知，k>0,0<b<1，故A，B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；而当x>1时，g(x)<0，f(x)>0，所以f(x)－g(x)>0，所以D正确．

二、填空题

5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b的取值范围分别为__(0,1)__，__[1，＋∞)__.

[解析]　依题意函数必须是减函数，且y＝logax的图象至少向左平移1个单位长度，故0<a<1，b≥1.

6．对数函数y＝logax在区间[3,6]上的最大值比最小值大2，则实数a＝__或__.

[解析]　由于对数函数y＝logax是单调函数，故|loga6－loga3|＝2，即|loga2|＝2，即loga2＝±2，即a2＝2或a－2＝2，解得a＝或a＝.

7．已知函数f(x)＝若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a＝____.

[解析]　若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立；

①x<1时，f(x)＝x2－(4a＋1)x－8a＋4是减函数，可是≥1，则a≥.

②x≥1时，f(x)＝logax是减函数，则0<a<1.

③12－(4a＋1)×1－8a＋4≥0，a≤.

综上可知，实数a的取值范围是.

三、解答题

8．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．

[解析]　(1)由题意知g(9)＝loga9＝2，解得a＝3，

∴g(x)＝log3x.

∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝x.

(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，∴(3x－1)> (－x＋5)，

则

解得<x<，即x的取值范围为(，)．

9．已知函数f(x)＝lg(x－1)．

(1)求函数f(x)的定义域和值域；

(2)证明：f(x)在定义域上是增函数．

[解析]　(1)要使函数有意义，则x－1>0，解得x>1，

即函数f(x)的定义域是(1，＋∞)．

函数f(x)的定义域是(1，＋∞)，则u＝x－1的值域是(0，＋∞)，函数f(x)的值域是R.

(2)证明：设x1，x2为(1，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则有f(x1)－f(x2)＝lg(x1－1)－lg(x2－1)＝lg.

∵1<x1<x2，∴0<x1－1<x2－1.∴0<<1.

又当0<x<1时，y＝lgx<0，∴lg<0.

∴f(x1)<f(x2)．

∴f(x)在定义域上是增函数．