2021学年4.5 函数的应用（二）第2课时课后作业题

第2课时 简单的三角恒等变换(二)

分层演练  综合提升

A级　基础巩固

1.函数f(x)=cos2x+,x∈R,则f(x) (　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数,也是偶函数

D.既不是奇函数,也不是偶函数

答案:D

2.函数f(x)=sin x-cos x可化简为　 (　　)

A.2sinx-           B.2sinx+

C.2sinx-           D.2sinx+

答案:A

3.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有 (　　)

A.c<b<a　　         B.a<b<c

C.a<c<b　            D.b<c<a

答案:C

4.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按什么角度来截?

解:设正方形钢板的边长为a,截后正方形的边长为b,则

=,==.

又因为a=GC+CF=bsin x+bcos x,

所以sin x+cos x=,所以sin(x+)=.

因为0<x<,所以<x+<,

所以x+=或x+=,所以x=或,

即应按或来截.

5.已知函数f(x)=.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期.

(2)求f(x)的单调递增区间.

解:(1)由sin x≠0,得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.

因为f(x)==2cos x(sin x-

cos x)=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,

所以f(x)的最小正周期为T==π.

(2)因为函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),

由2kπ-≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),

得kπ-≤x≤kπ+,x≠kπ(k∈Z),

所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ)和(kπ,kπ+](k∈Z).

B级　能力提升

6.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值是 (　　)

A.1　　　               B.2

C.+1                   D.+2

解析:f(x)=(1+tan x)·cos x=(1+)·cos x=sin x+cos x=2sin(x+).

因为0≤x<,所以≤x+<,

所以当x+=时,f(x)取到最大值2.

答案:B

7.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离d表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为              (　　)

　 A              B             C           　D

解析:因为OP=1,由三角函数的定义,得MP=|sin x|,

OM=|cos x|.在Rt△OMP中,根据面积相等,有MP·OM=OP·d,

所以f(x)==|sin 2x|.

因为y=sin 2x的周期为π,所以f(x)=|sin 2x|的周期为,且最大值为.故选C.

答案:C

8.函数f(x)=的值域为[-,4).

解析: f(x)===2sin x+2sin2x,由已知,可得-1≤sin x<1.

令sin x=t,则t∈[-1,1),f(x)=g(t)=2t2+2t=

2(t+)2-,故当t=-时,函数g(t)取得最小值-;当t的值趋于1时,g(t)的值趋于4,故函数g(t)的值域为[-,4),所以f(x)∈[-,4).

9.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点

分别在x、y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.

解:如图,过点B作BH⊥OA,垂足点为点H.

设∠OAD=θ(0<θ<),则∠BAH=-θ,

OA=2cos θ,BH=sin(-θ)=cos θ,

AH=cos(-θ)=sin θ,

所以点B的坐标为(2cos θ+sin θ,cos θ),

OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ=

7+6cos 2θ+2sin2θ=7+4sin(2θ+).

由0<θ<,得<2θ+<,

所以当2θ+=,即θ=时,

OB2取得最大值7+4.

C级　挑战创新

10.多空题如图,有半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,则当α为时,矩形的面积最大,最大面积的值为1.

解析:因为OP=1,∠SOP=α,所以SP=sin α,OS=cos α,所以S矩形PQRS=sin α×2cos α=sin 2α,

所以当α为时,S矩形PQRS最大,最大值为1.