高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂达标检测题，共4页。试卷主要包含了下列各式中,值为12的是等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中,值为12的是( )


A.sin 15°cs 15°B.cs2π6-sin2π6


C.tan30°1-tan230°D.1+cs60°2


2.若cs α=-45,α是第三象限角,则1+tanα21-tanα2等于( )


A.-12B.12C.2D.-2


3.若θ∈π4,π2,sin 2θ=378,则sin θ等于( )


A.35B.45C.74D.34


4.已知cs θ=-15,5π2<θ<3π,则sinθ2等于( )


A.105B.-105C.155D.-155


5.化简sinα2+csα22+2sin2π4-α2得( )


A.2+sin αB.2+2sinα-π4


C.2D.2+2sinα+π4


6.已知tanπ4+θ=3,则sin 2θ-2cs2θ等于( )


A.-1B.-45C.45D.-34


7.1sinπ18-3csπ18= .


8.已知5π<θ<6π,csθ2=a,则sinθ4的值为 .


9.已知α∈0,π2,sin 2α=12,则sinα+π4= .


10.函数f(x)=15sinx+π3+csx-π6的最大值为 .


11.求证:tan3x2-tanx2=2sinxcsx+cs2x.


























12.已知函数f(x)=sin2x-π6+2cs2x-1.


(1)求函数f(x)的最大值及其相应x的取值集合;


(2)若π4<α<π2且f(α)=45,求cs 2α的值.


参考答案


1.下列各式中,值为12的是( )


A.sin 15°cs 15°B.cs2π6-sin2π6


C.tan30°1-tan230°D.1+cs60°2


解析:在选项A中,原式=12sin 30°=14;


在选项B中,原式=csπ3=12;


在选项C中,原式=12×2tan30°1-tan230°=12tan 60°=32;


在选项D中,原式=cs 30°=32.


答案:B


2.若cs α=-45,α是第三象限角,则1+tanα21-tanα2等于( )


A.-12B.12C.2D.-2


解析:∵α是第三象限角,cs α=-45,∴sin α=-35,


∴1+tanα21-tanα2=1+sinα2csα21-sinα2csα2=csα2+sinα2csα2-sinα2


=csα2+sinα2csα2-sinα2·csα2+sinα2csα2+sinα2


=1+sinαcsα=1-35-45=-12.


答案:A


3.若θ∈π4,π2,sin 2θ=378,则sin θ等于( )


A.35B.45C.74D.34


解析:因为θ∈π4,π2,所以2θ∈π2,π.


所以cs 2θ=-1-sin22θ=-1-3782=-18.


因为cs 2θ=1-2sin2θ,


所以sin2θ=1-cs2θ2=1--182=916.


又因为θ∈π4,π2,所以sin θ=34.故选D.


答案:D


4.已知cs θ=-15,5π2<θ<3π,则sinθ2等于( )


A.105B.-105C.155D.-155


解析:因为5π2<θ<3π,所以5π4<θ2<3π2.


所以sinθ2<0.


因为cs θ=1-2sin2θ2,


所以sinθ2=-1-csθ2=-1+15×12=-155.


答案:D


5.化简sinα2+csα22+2sin2π4-α2得( )


A.2+sin αB.2+2sinα-π4


C.2D.2+2sinα+π4


解析:原式=1+2sinα2csα2+1-cs2π4-α2=2+sin α-csπ2-α=2+sin α-sin α=2.故选C.


答案:C


6.已知tanπ4+θ=3,则sin 2θ-2cs2θ等于( )


A.-1B.-45C.45D.-34


解析:∵tanπ4+θ=tanθ+11-tanθ=3,∴tan θ=12.


∴sin 2θ-2cs2θ=sin2θ-2cs2θ1=2sinθcsθ-2cs2θsin2θ+cs2θ=2tanθ-2tan2θ+1=-45.


答案:B


7.1sinπ18-3csπ18= .


解析:原式=csπ18-3sinπ18sinπ18csπ18=212csπ18-32sinπ1812sinπ9=4sinπ9sinπ9=4.


答案:4


8.已知5π<θ<6π,csθ2=a,则sinθ4的值为 .


解析:∵θ∈(5π,6π),∴θ4∈5π4,3π2.


∴sinθ4=-1-csθ22=-1-a2.


答案:-1-a2


9.已知α∈0,π2,sin 2α=12,则sinα+π4= .


解析:因为1-2sin2α+π4=cs2α+π2=-sin 2α,


所以sin2α+π4=34.


因为α∈0,π2,所以α+π4∈π4,3π4.


所以sinα+π4=32.


答案:32


10.函数f(x)=15sinx+π3+csx-π6的最大值为 .


解析:函数f(x)=15sinx+π3+csx-π6


=15sinx+π3+cs-x+π6


=15sinx+π3+sinx+π3


=65sinx+π3≤65.


答案:65


11.求证:tan3x2-tanx2=2sinxcsx+cs2x.


证明:∵左边=tan3x2-tanx2=sin3x2cs3x2-sinx2csx2


=sin3x2csx2-cs3x2sinx2cs3x2csx2


=sin3x2-x2cs3x2csx2=sinxcs3x2csx2


=2sinxcs3x2+x2+cs3x2-x2


=2sinxcsx+cs2x=右边,∴原等式成立.


12.已知函数f(x)=sin2x-π6+2cs2x-1.


(1)求函数f(x)的最大值及其相应x的取值集合;


(2)若π4<α<π2且f(α)=45,求cs 2α的值.


解:(1)因为f(x)=sin2x-π6+2cs2x-1


=sin 2x·csπ6-cs 2x·sinπ6+cs 2x


=32sin 2x+12cs 2x=sin2x+π6,


所以当2x+π6=2kπ+π2(k∈Z),


即x=kπ+π6(k∈Z)时,f(x)max=1.


其相应x的取值集合为xx=kπ+π6,k∈Z.


(2)由题意可知f(α)=sin2α+π6=45.


因为π4<α<π2,所以2π3<2α+π6<7π6.


所以cs2α+π6=-35.


因此cs 2α=cs2α+π6-π6


=cs2α+π6·csπ6+sin2α+π6·sinπ6


=-35×32+45×12=-33+410