2021学年第五章 三角函数5.5 三角恒等变换复习练习题

课时作业53　简单的三角恒等变换

——基础巩固类——

一、选择题

1．若cosα＝，且α∈(0，π)，则cos的值为(　A　)

A.   B．－

C．±    D．±

解析：因为0<α<π，所以0<<，

所以cos＝＝，故选A.

2．已知cosθ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos＝(　B　)

A．－   B.

C．－    D．

3．函数f(x)＝2sin2x＋sin2x的最小正周期为(　C　)

A.   B.

C．π    D．2π

解析：函数f(x)＝2sin2x＋sin2x＝2×＋sin2x＝sin＋1，则函数的最小正周期为＝π，故选C.

4．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有(　C　)

A．c<b<a   B．a<b<c

C．a<c<b    D．b<c<a

解析：由题意可知，a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，而y＝sinx在[0°，90°]上为增函数，∴a<c<b，故选C.

5．sin＝，则cos＝(　A　)

A．－   B．－

C.    D．

解析：cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1.

∵(－α)＋(＋α)＝，

∴cos(＋α)＝sin(－α)＝.

∴cos(＋2α)＝2×()2－1＝－.故选A.

6．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于(　C　)

A．4   B．－6

C．－4    D．－3

解析：f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋a＋1.

当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，

∴f(x)min＝2·(－)＋a＋1＝－4.

∴a＝－4.

二、填空题

7．若tanx＝，则＝2－3.

解析：原式＝＝＝＝＝2－3.

8．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是.

解析：f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，因为x∈[－π，0]，所以令k＝0得单调递增区间为.

9．函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为.

解析：y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1，

设t＝sinx(－1≤t≤1)，

则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，

所以当t＝时，函数取得最大值.

三、解答题

10．证明：＋(sin2α－cos2α)＝2sin.

证明：左边＝－cos2α

＝－cos2α

＝－cos2α＝sin2α－cos2α＝2sin＝右边，所以等式成立．

11．已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.

解：(1)f(x)＝cos2x＋sin2x－sin2x

＝sin2x＋cos2x＝sin.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)证明：因为－≤x≤，

所以－≤2x＋≤.

所以sin≥sin＝－.

所以当x∈时，f(x)≥－.

——能力提升类——

12．计算的值为(　C　)

A．－2   B．2

C．1    D．－1

解析：

＝

＝

＝＝＝1.

13．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是(　D　)

A．m<1   B．m>－3

C．m<3    D．m>1

解析：f(B)＝4sinB·＋cos2B＝2sin2B＋2sinB＋1－2sin2B＝2sinB＋1.∵f(B)－m<2恒成立，∴m>f(B)－2恒成立．∵0<B<π，∴f(B)的最大值为3，∴m>3－2＝1.故选D.

14．定义运算a*b＝a2－ab－b2，则sin*cos＝－.

解析：由a*b＝a2－ab－b2，得sin*cos

＝sin2－sincos－cos2

＝－－×2sin·cos

＝－cos－sin＝－.

15．证明＝tan.

证明：右边＝tan＝

＝＝，

由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos＋sin，得

＝＝左边．所以原等式成立．