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    2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册 5.5.2 简单的三角恒等变换 作业5 练习
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换习题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换习题,共7页。

    1.已知cs α=eq \f(4,5),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),2π)),则sineq \f(α,2)等于( )
    A.-eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)
    C.eq \f(3,10)eq \r(3) D.-eq \f(3,5)
    2.若sin 2α=eq \f(1,4),且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),则cs α-sin α的值为( )
    A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3,4)
    C.-eq \f(\r(3),2) D.-eq \f(\r(3),4)
    3.设a=eq \f(1,2)cs 6°-eq \f(\r(3),2)sin 6°,b=2sin 13°cs 13°,c=eq \r(\f(1-cs 50°,2)),则有( )
    A.cC.a4.若cs 22°=a,则sin 11°=________,cs 11°=________.
    5.已知cs α=-eq \f(3,5),且180°<α<270°,则taneq \f(α,2)=__________.
    6.求证:eq \f(sin2α+β,sin α)-2cs(α+β)=eq \f(sin β,sin α).
    [提能力]
    7.(多选)已知函数f(x)=sin x(cs x-eq \r(3)sin x),则下列结论正确的是( )
    A.函数f(x)的最小正周期是π
    B.函数f(x)是奇函数
    C.函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))上的最小值为-eq \r(3)
    D.函数f(x)的单调减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ+\f(π,12),kπ+\f(7,12)π))(k∈Z).
    8.若α,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))=eq \f(\r(3),2),sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)-β))=-eq \f(1,2),则cs(α+β)的值等于________.
    9.已知函数f(x)=sin2x+eq \r(3)sin xcs x.
    (1)求f(x)的最小正周期;
    (2)若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,3),m))上的最大值为eq \f(3,2),求m的最小值.
    [战疑难]
    10.如图,某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯,AO为滑道,∠OBA为直角,OB=20米,设∠AOB=θ rad;一个小朋友从点A沿滑道往下滑,记小朋友下滑的时间为t秒,已知小朋友下滑的长度s与t2和sin θ的积成正比,当θ=eq \f(π,6)时,小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米.
    (1)求s关于时间t的函数的表达式;
    (2)请确定θ的值,使小朋友从点A滑到O所需的时间最短.
    课时作业(三十九) 简单的三角恒等变换
    1.解析:因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),2π)),所以eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π,π)),
    所以sineq \f(α,2)= eq \r(\f(1-cs α,2))=eq \r(\f(1,10))=eq \f(\r(10),10).
    答案:B
    2.解析:因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),所以cs α答案:C
    3.解析:由已知可得a=sin 24°,b=sin 26°,c=sin 25°,所以a答案:C
    4.解析:cs 22°=2cs211°-1=1-2sin211°,
    所以cs 11°= eq \r(\f(1+cs 22°,2))= eq \r(\f(1+a,2)).
    sin 11°= eq \r(\f(1-cs 22°,2))= eq \r(\f(1-a,2)).
    答案: eq \r(\f(1-a,2)) eq \r(\f(1+a,2))
    5.解析:因为180°<α<270°,所以90°答案:-2
    6.证明:∵sin(2α+β)-2cs(α+β)sin α
    =sin[(α+β)+α]-2cs(α+β)sin α
    =sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α-2cs(α+β)sin α
    =sin(α+β)cs α-cs(α+β)sin α
    =sin[(α+β)-α]=sin β,
    两边同除以sin α得eq \f(sin2α+β,sin α)-2cs(α+β)=eq \f(sin β,sin α).
    7.解析:∵f(x)=sin x(cs x-eq \r(3)sin x)
    =sin xcs x-eq \r(3)sin2x
    =eq \f(1,2)sin 2x-eq \r(3)×eq \f(1-cs 2x,2)
    =eq \f(1,2)sin 2x+eq \f(\r(3),2)cs 2x-eq \f(\r(3),2)
    =sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))-eq \f(\r(3),2)
    ∴最小正周期T=eq \f(2π,2)=π,A对;
    f(-x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2x+\f(π,3)))-eq \f(\r(3),2)=-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))-eq \f(\r(3),2)≠f(x),不是奇函数,B错;
    ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴2x+eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(4π,3))),
    ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),2),1)),
    ∴f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\r(3),1-\f(\r(3),2))),C对;
    由eq \f(π,2)+2kπ≤2x+eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)+2kπ,k∈Z,
    得kπ+eq \f(π,12)≤x≤kπ+eq \f(7π,12),k∈Z,D对.故选ACD.
    答案:ACD
    8.解析:∵α,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))=eq \f(\r(3),2),sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)-β))=-eq \f(1,2),∴α-eq \f(β,2)=±eq \f(π,6),eq \f(α,2)-β=-eq \f(π,6).
    ∴2α-β=±eq \f(π,3),α-2β=-eq \f(π,3).
    α+β=(2α-β)-(α-2β)=0或eq \f(2π,3)(0舍去).
    ∴cs(α+β)=-eq \f(1,2).
    答案:-eq \f(1,2)
    9.解析:(1)f(x)=eq \f(1,2)-eq \f(1,2)cs 2x+eq \f(\r(3),2)sin 2x
    =sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))+eq \f(1,2).
    所以f(x)的最小正周期为T=eq \f(2π,2)=π.
    (2)由(1)知f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))+eq \f(1,2).
    由题意知-eq \f(π,3)≤x≤m,
    所以-eq \f(5π,6)≤2x-eq \f(π,6)≤2m-eq \f(π,6).
    要使得f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,3),m))上的最大值为eq \f(3,2),
    即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,3),m))上的最大值为1.
    所以2m-eq \f(π,6)≥eq \f(π,2),即m≥eq \f(π,3).
    所以m的最小值为eq \f(π,3).
    10.解析:(1)由题意,设s=kt2sin θ,t≥0,k≠0,
    当θ=eq \f(π,6),t=2时,s=10,∴10=k×22sineq \f(π,6),解得k=5,
    ∴s关于时间t的函数表达式为s=5t2sin θ,t≥0.
    (2)由题意,∠OBA为直角,∠AOB=θ rad,
    可得OA=eq \f(20,cs θ),∴eq \f(20,cs θ)=5t2sin θ,
    化简可得t= eq \r(\f(4,sin θcs θ))=eq \f(2\r(2),\r(sin 2θ)),
    ∴当θ=eq \f(π,4)时,时间t最短.
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