高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换习题，共7页。

1．已知cs α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sineq \f(α,2)等于( )
A．－eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)
C.eq \f(3,10)eq \r(3) D．－eq \f(3,5)
2．若sin 2α＝eq \f(1,4)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则cs α－sin α的值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3,4)
C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),4)
3．设a＝eq \f(1,2)cs 6°－eq \f(\r(3),2)sin 6°，b＝2sin 13°cs 13°，c＝eq \r(\f(1－cs 50°,2))，则有( )
A．cC．a4．若cs 22°＝a，则sin 11°＝________，cs 11°＝________.
5．已知cs α＝－eq \f(3,5)，且180°<α<270°，则taneq \f(α,2)＝__________.
6．求证：eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cs(α＋β)＝eq \f(sin β,sin α).
[提能力]
7．(多选)已知函数f(x)＝sin x(cs x－eq \r(3)sin x)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为－eq \r(3)
D．函数f(x)的单调减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7,12)π))(k∈Z)．
8．若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝－eq \f(1,2)，则cs(α＋β)的值等于________．
9．已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，求m的最小值．
[战疑难]
10．如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO为滑道，∠OBA为直角，OB＝20米，设∠AOB＝θ rad；一个小朋友从点A沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t秒，已知小朋友下滑的长度s与t2和sin θ的积成正比，当θ＝eq \f(π,6)时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米．
(1)求s关于时间t的函数的表达式；
(2)请确定θ的值，使小朋友从点A滑到O所需的时间最短．
课时作业(三十九) 简单的三角恒等变换
1．解析：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，所以eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，
所以sineq \f(α,2)＝ eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \r(\f(1,10))＝eq \f(\r(10),10).
答案：B
2．解析：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以cs α答案：C
3．解析：由已知可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a答案：C
4．解析：cs 22°＝2cs211°－1＝1－2sin211°，
所以cs 11°＝ eq \r(\f(1＋cs 22°,2))＝ eq \r(\f(1＋a,2)).
sin 11°＝ eq \r(\f(1－cs 22°,2))＝ eq \r(\f(1－a,2)).
答案： eq \r(\f(1－a,2)) eq \r(\f(1＋a,2))
5．解析：因为180°<α<270°，所以90°答案：－2
6．证明：∵sin(2α＋β)－2cs(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cs(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cs α＋cs(α＋β)sin α－2cs(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以sin α得eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cs(α＋β)＝eq \f(sin β,sin α).
7．解析：∵f(x)＝sin x(cs x－eq \r(3)sin x)
＝sin xcs x－eq \r(3)sin2x
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)×eq \f(1－cs 2x,2)
＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x－eq \f(\r(3),2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)
∴最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，A对；
f(－x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)≠f(x)，不是奇函数，B错；
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))，
∴f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)，1－\f(\r(3),2)))，C对；
由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)，k∈Z，D对．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝－eq \f(1,2)，∴α－eq \f(β,2)＝±eq \f(π,6)，eq \f(α,2)－β＝－eq \f(π,6).
∴2α－β＝±eq \f(π,3)，α－2β＝－eq \f(π,3).
α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或eq \f(2π,3)(0舍去)．
∴cs(α＋β)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
9．解析：(1)f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).
所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).
由题意知－eq \f(π,3)≤x≤m，
所以－eq \f(5π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤2m－eq \f(π,6).
要使得f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为1.
所以2m－eq \f(π,6)≥eq \f(π,2)，即m≥eq \f(π,3).
所以m的最小值为eq \f(π,3).
10．解析：(1)由题意，设s＝kt2sin θ，t≥0，k≠0，
当θ＝eq \f(π,6)，t＝2时，s＝10，∴10＝k×22sineq \f(π,6)，解得k＝5，
∴s关于时间t的函数表达式为s＝5t2sin θ，t≥0.
(2)由题意，∠OBA为直角，∠AOB＝θ rad，
可得OA＝eq \f(20,cs θ)，∴eq \f(20,cs θ)＝5t2sin θ，
化简可得t＝ eq \r(\f(4,sin θcs θ))＝eq \f(2\r(2),\r(sin 2θ))，
∴当θ＝eq \f(π,4)时，时间t最短．