高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.6 解三角形精品同步训练题

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1.6.2正弦定理同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设的面积为，它的外接圆面积为，若的三个内角大小满足，则的值为     

A.  B.  C.  D.

2. 在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为   

A.  B.  C.  D.

3. 在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为     

A.  B.  C.  D.

4. 在中，内角，，的对边分别为，，若的面积为，，则的外接圆的面积为   

A.  B.  C.  D.

5. 在中，，，是边上的一点，，的面积为，则的长为   

A.  B.  C.  D.

6. 在中，角，，的对边分别为，，，若且，则的面积

A.  B.  C.  D.

7. 已知的内角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积为   

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，，分别是内角，，所对的边，的面积，且满足，，则的值是   

A.  B.  C.  D.

9. 在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为 

A.  B.  C.  D.

10. 设的内角，，的对边分别为，，，且，，延长边到，若，则面积的最大值为   

A.  B.  C.  D.

11. 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为

A.  B.  C.  D.

12. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，面积为，则    

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 如图，在中，点在边上，，，则的值是          ；若，则的面积是          ．
14. 在中，，，点在边上，，，则          ；的面积为          ．
15. 在中，若，，则的最小值为          ，面积的最大值为          ．
16. 设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，已知，则          ；若，，则的周长为          ．
17. 在中，角，和所对的边长为，和，面积为，且为钝角，则          ；的取值范围是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 在中，角，，所对的边分别为，，且．

求的值；

若，的面积为，求边．






 

19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
    求的值；
    若是边上的点，，，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
20. 在中，，．

求的值；

若，求的面积






 

21. 如图，在中，，，点在线段上．
     

若，求的长；

若，的面积为，求的值．






 

22. 在如图所示的四边形中，已知，，，．
    若，求的面积．
    求的最大值．

23. 的内角、、的对边分别为，，已知．
    求；
    若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题．
根据题意，可得，，，可得的面积为，外接圆面积为，利用正弦定理即可得解．

【解答】解：在中，的三个内角大小满足，
，，，
．
设外接圆的半径为，
则，
，
．
故选D．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正弦定理和三角形面积公式，由正弦定理可得和，可得是等腰直角三角形，由三角形面积公式可得结果．
【解答】
解：由正弦定理可知，

已知，所以和，

所以，，所以是等腰直角三角形，

由条件可知外接圆的半径是，即等腰直角三角形的斜边长为，

所以．

故选A．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式，属于基础题．
由三角形的面积可求出，再利用正弦定理即可求出三角形外接圆的半径．

【解答】

解：中，，，
三角形的面积，，
故B．
再由正弦定理可得，
三角形外接圆的半径，
故选C．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由余弦定理及三角形面积公式得和，结合条件，可得，求得角，再由正弦定理即求得结果．

【解答】

解：由余弦定理得，，

所以，

又，，

所以有，即，

又，所以，

由正弦定理得，，为外接圆的半径，得，

所以外接圆的面积为．

故选D．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查三角形面积公式以及正余弦定理，属于中档题，
由三角形面积公式求得，从而得到再由余弦定理可得的值，从而得到的度数和的度数，再在中，由正弦定理求得的值．

【解答】解：，，的面积为，
，
，
则或不合题意，舍去，
则，得．
由余弦定理可得，
，．
在中，，，，
由正弦定理，得，解得，
故选D．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理以及三角形的面积公式，是基础题．
结合正弦定理求出，再结合即可求解
【解答】
解：由及正弦定理得：
，
，
 ，  ，
又  ，，
 ．
故选D．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属于一般题．
由题意和正余弦定理可得，的值，由同角三角函数的基本关系可得，代入三角形的面积公式计算可得． 
【解析】
解：由结合正弦定理可得，则．
由余弦定理，可得，
解得，则又，
所以．
故选B．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，属于中档题．
由题意结合正弦定理得，进而求得，结合的面积公式，可得，
又由余弦定理可得，即可求解．
【解答】
解：由，结合正弦定理，
得，
，
，是三角形的内角，
，，．
由的面积，得．
又由余弦定理，得，
，
即的值是．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最值，属于难题．
依题意，求得，，，得出，可得，，根据基本不等式求最值即可．

【解答】

解：由题意，设的内角，，的对边分别为，，，
由，得，
又，得，
可得，
根据同角三角函数的基本关系得，，
由，根据正弦定理得，
又，
解得，，
所以，
因为，
所以，
又，，三点共线，且为线段上的动点，
所以，，
所以

，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故选B．

10.【答案】
 

【解析】【解析】
本题主要考查了正弦定理、两角和与差的余弦公式以及三角形的面积，属于中档题．
首先由两角和与差的余弦公式可得，由可得，运用同角三角函数之间的关系求得角，最后由三角形的面积公式以及不等式求得最大值．
解：，
，，

，，

由可得，

，，，

，即，

为正三角形，设边长，

，

当且仅当，即时取等号．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理，属于基础题，
由题意，结合正弦定理，可求得，，的值，代入面积公式即可求解．
【解答】
解：由，
结合正弦定理可得：，
设，，，
又满周长为，则，
解得：，即，，，
代入，
得，
故的面积为．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正余弦定理以及三角形面积公式，属于基础题．
利用三角形面积公式求得，得，利用余弦定理求得，再结合正弦定理求解．
【解答】
解：，
面积为，解得，
，，
在中，由余弦定理可得：，
可得，
故选B．  

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查三角形和角公式以及正弦定理，三角形面积公式的运用，属中档题．
由题意，首先在中求出，然后利用正弦定理以及三角形面积公式得到所求．
【解答】
解：在中，点在边上，，，，
则，，
则，
所以
在中，
若，则的面积是．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．
先根据正弦定理求得，进而求得三角形的面积．

【解答】

解：如图：

因为在中，，，点在边上，，，
所以：；
；
故答案为：，．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等，难度较大．
根据余弦定理及基本不等式可得，将化为可得，面积化为可得．

【解答】

解：因为，为三角形内角，
，
，
由余弦定理得，
，
当且仅当时取等


，
的面积为．
故答案为：，．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．
首先利用正弦定理可得，再利用余弦定理即可求出；然后根据可求出，进一步可求出，从而可求出的周长．
【解答】
解：由已知，，
所以根据正弦定理，得，即，
再根据余弦定理，得，
因为，所以
又，所以，，
因为，所以，
于是，，
所以的周长．
故答案为：；．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查正弦、余弦定理、三角形面积公式的应用，以及诱导公式的应用．
根据题意，先由余弦定理和三角形面积公式可得 ，整理为 ，据此可得答案；
再由正弦定理和三角函数化简可得 ，结合诱导公式分析 的范围，计算可得答案．
【解答】
解：在中，面积为，
，
由余弦定理得，，即，
，
，
，
又由正弦定理可得．
又由，
且为钝角，则，
则，
则，
即的取值范围是
故答案为．  

18.【答案】解：由正弦定理，
即，
得，

则有．

又，则，

则．

因为，则，
．

因为，

所以，得．

由余弦定理，
则．

【解析】

【分析】

本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由正弦定理“边化角”，结合三角的变换可得；

由面积公式以，得，使用余弦定理可得
．

19.【答案】解：根据题意，得，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
由正弦定理可得，
故．
在和中，分别由余弦定理，得：
，
，
由，得：
，
由知，所以，
又为等腰三角形，
所以的高为，
所以的面积为．
 

【解析】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理与三角形面积公式，属于中档题．
根据题意将角用，表示化简可得，由正弦定理可得，故的值；
在和中，分别由余弦定理，得由，得由知，所以，又为等腰三角形，所以的高为，可得三角形的面积．
 

20.【答案】解：根据正弦定理，可得

；
当时，
，
，，
角为锐角，
，
在中，

，

．
 

【解析】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题．
根据正弦定理即可求出答案，
根据同角的三角函数的关系求出，再根据两角和的正弦公式求出，根据面积公式计算即可．
 

21.【答案】解：中，，．
，．
在中，由正弦定理可得，
即，；
设，则，
，的面积为，
的面积为，
，
，
在由正弦定理可得，
．
在由正弦定理可得，
，
，
．
 

【解析】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
中，由正弦定理可得的长；
利用，的面积为，求出，，利用余弦定理求出，利用正弦定理可得结论．
 

22.【答案】解：，，，．
若，
则；
 或舍；
；

的面积
设，则，
在中，
在中，



，

的最大值为．
 

【解析】根据题意，利用正弦定求解，在由的面积可得答案．
设，分别在和用正弦定理表示出，
，从而可得最大值
本题考查了正弦定理的灵活应用和计算能力，三角形面积公式、三角形的内角和定理的计算．属于中档题．
 

23.【答案】解：，即为，
可得，
，
，
，，
，可得；
若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，
解得，
可得面积
 

【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题．
运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
运用余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，求得的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．