高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.6 解三角形随堂练习题

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1.6.3解三角形应用举例同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的直径大约为     

结果精确到米参考数据：，，，

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，，若此三角形有且只有一个，则的取值范围是

A.  B.
C. 或 D.

3. 如下图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点．从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得已知山高，则山高单位：为 

A.  B.  C.  D.

4. 为加快推进“光网”双千兆城市建设．如图，在东北某地地面有四个基站，，，已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进米到达点，测得，则大坝的坡角的余弦值为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在山根处测得山顶的仰角，沿倾斜角为的山坡向山顶走米到达点，又测得山顶仰角，则山高为

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

7. 设锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

8. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

9. 如图，为了测量河对岸电视塔的高度，测量者小张在岸边点处测得塔顶的仰角为，塔底与的连线同河岸成角，小张沿河岸向前走了米到达处，测得塔底与的连线同河岸成角，则电视塔的高度为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高   

A.
B.
C.
D.

11. 魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的

A. 表距 B. 表距
C. 表高 D. 表高

12. 东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有多年历史东寺塔基座为正方形，塔身有级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称如图，在点测得：塔在北偏东的点处，塔顶的仰角为，且点在北偏东相距单位：，在点测得塔在北偏西，则塔的高度约为     

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得已知山高，则山高          两山山顶的距离          
    
                                                                                                          

14. 我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点、的连线恰好经过拐角内侧顶点点、、在同一水平面内，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则的长为          用表示米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于          米．

15. 为了更有效的防御新冠疫情，符合条件的公民推行疫苗接种工作，到年月日时，我国已接种新冠病毒疫苗超一亿剂次．如图，某市区有四个接种点，，，已知接种点，设在市区南部，距离为 ；接种点，在市区北部，测得，，，，则          ，，两个接种点的距离为          ．
16. 某中学组队到某村参加社会实践活动，村长让学生测量河流两岸与两点间的距离．同学们各抒己见，但李明想到一种测量方法，同学们一致认为很好．其方法是：在点处垂直地面竖立一根竹竿，在竹竿上取一点，使米，在处测得从看的俯角为．
     

当和在同一水平面上时如图，测得          米；

当和不在同一水平面上和在同一水平面上时如图，利用测角仪测得，此时，可测得          米．

17. 是水面下共线的三个声波监测点，两点到的距离分别为千米和千米，某时刻，收到发自水面下静止目标的一个声波信号，秒后，，同时接到该声波信号，声波在水中的传播速度为千米秒．则到的距离为          千米；到直线的距离为          千米．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 如图是一座斜拉索桥梁的简图，钢索看作线段与桥面所成角为，其中，钢索与桥面所成角为
    

若，求斜拉索与所成角的余弦值；

若点到桥面的距离为米记，桥面长度为，求关于的函数解析式，并计算时，的长度






 

19. 如图，有一块三棱锥形木块，其中面内有一点．

若要在面内过点画一条线段，其中点在线段上，点在线段上，且满足与垂直，该如何求作？请在图中画出线段并说明画法，不必证明．

经测量，，，，，若恰为三角形的重心，为中所求线段，求三棱锥的体积．






 

20. 如图，在直角三角形中，，，点，分别在边和上点和点不重合，将沿翻折，变为，使顶点落在边上点和点不重合设
    用表示线段的长度，并写出的取值范围；
    求线段长度的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上．
    
    设，求三角形木块面积；
    设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为小岛对小岛与的视角为钝角，且．

求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

记小岛对小岛与的视角为，小岛对小岛与的视角为，求的值．






 

23. 如图，我市某小区中有条长为米，宽为米的道路，在路的一侧可以停放汽车，已知小型汽车的停车位是一个米宽，米长的矩形，如，这样该段道路可以划出个车位，随着小区居民汽车拥有量的增加，停车难成为普遍现象．经过各方协商，小区物业拟压缩绿化，拓宽道路，改变车位方向增加停车位，如图，改建后的通行宽度保持不变，即到的距离不变．
     

绿化被压缩的宽度与停车位的角度有关，记，，为停车方便，要求，写出关于的函数表达式；

沿用的条件和记号，实际施工时，米，问改造后的停车位增加了多少个？

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查解三角形的实际应用，属于基础题．
根据题意得到米，进而得到即可．
【解答】
解：在中，米，，
所以米，，
在中，，

，
所以米，
故选D．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理的应用，考查三角形解得情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
根据题意求出，然后数形结合可得的范围．
【解答】
解：在中，，，
由正弦定理可得；

这样的三角形有且只有一个，或；
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理在三角形的实际应用，考查计算能力属于基础题．
根据点的仰角，山高，利用勾股定理求解出，正弦定理求解出，在中即可求解山高．

【解答】

解：由题意得点的仰角，山高，
由勾股定理，可得．
在中，，，那么，
又．
由正弦定理，得，
可得．
在中，，
可得．
故选A．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解三角形的实际应用，考查了正余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．
由题意解三角形求出，在中，由正弦定理求出，在中，利用余弦定理求即可．
【解答】
解：由题意，得，
，
，
在中，由正弦定理可得：

在中，由余弦定理可得：
，
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解三角形的应用问题，涉及正弦定理，诱导公式，考查分析问题与解答问题的能力，是基础题．
在中由正弦定理求得的值，在中由正弦定理求得，再利用诱导公式求出的值．
【解答】
解：因为，，所以；
在中，由正弦定理得，
解得米；
在中，由正弦定理得，
所以；
又，所以，
所以．
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：依题意，过点作于，于，
，米，
米，
依题意，在中，，
，
在中，，
，
在中，



米．
米．
故选：．
作出图形，过点作于，于，依题意可求得在中利用正弦定理可求的长，从而可得山顶高．
本题考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．
根据锐角三角形的性质，先求出的范围，结合正弦定理进行转化求解即可．
【解答】
解：在锐角三角形中，，即，且，则，即，
综上，
则，
，，
由正弦定理得，
得，
，
，
即，
则的取值范围是，
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．
由题意，利用正弦定理即可求得的值．
【解答】
解：由题意知，在中，，，，
由正弦定理得，
解得．
处与地面目标的距离为千米．
故选B．  

9.【答案】
 

【解析】解：在中，，米，
则，，
由正弦定理，得，
即米，
在中，米，
所以塔高为米．
故选：．
本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理，属于基础题．
根据正弦定理求得，进而在中，根据求得．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正弦定理及解三角形的实际应用 ，属于基础题．
先根据三角形的内角和求出，再根据正弦定理求得，进而在直角三角形中根据及求得．
【解答】
解：，
根据正弦定理得，
 ，
故选D．  

11.【答案】
 

【解析】【解析】
本题考查解三角形的实际应用，属于基础题．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．
解：，，
又，
所以
，即，
解得：，，
故：．
即海岛的高表高
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解三角形的实际应用，属于中档题．
由题意先求得三角形为直角三角形，且，进而求得，再在直角三角形中，由题意得，即可求得．
【解答】
解：如图所示：

由在点测得：在北偏东，且点在北偏东，
得：，则，所以，
又在点测得在北偏西，所以，
所以，所以，
在直角三角形中：，，
所以，
在直角三角形中，
由在点测得塔顶的仰角为，得，
又，
所以塔的高度．
故选B．  

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了解三角形的实际应用，考查了正弦定理，属于中档题．
在三角形中，由正弦定理得，解得 ，在三角形中，，可得山高的值．
在三角形中，得 ，在三角形中由正弦定理得，可得．

【解答】

解：在三角形中，，，则 ，
在三角形中，，
，解得 ，
在三角形中，，
故，即山高为．
在三角形中，
由，
解得
 ，
故答案为 ．

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查解三角形的实际应用及导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于较难题．
分别计算出、，相加可得的长；设，利用导数求得的最小值，即可得解．
【解答】
解：如下图所示，过点分别作，，则，

在中，，则，同理可得，

所以，．

令，则，

令，得，得，

由，解得

当时，；当时，．

则．

故答案为：；．

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了利用解三角形的知识求边长问题，也考查了特殊三角函数的值和正弦、余弦定理的应用问题，属于中档题．
利用的边角关系求出，在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出即可．
【解答】
解：在中，，，
所以，即，
根据等角对等边，得．
在中，，
．
．
在中由正弦定理得，．
解得．
在中，由余弦定理得，

．
解得，即两个基站、之间的距离为．
故答案为：；．  

16.【答案】

．

【解析】

【分析】
本题主要考查解三角形的实际应用，正弦定理及诱导公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意，可得由，从而可求出；利用正弦定理及诱导公式求解即可．
【解答】
解：，由，得
，，
由正弦定理，得，
解得．
故答案为；．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查解三角形的实际应用，属于一般题．
设，由，利用余弦定理求出，即可求得到的距离和到直线的距离．
【解答】
解：设，则，
因为，，
所以，
即
即，
解得
故，

故到的距离为千米，到直线的距离为千米．
  

18.【答案】解：因为，
所以，
所以，，
所以
；
由题意：，
所以，，
所以，
所以，
又，
所以，
即，．
当时，米．
 

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式、两角和的余弦公式以及解三角形的实际应用，属于难题．
由分别求得、、，故；
由已知分别求得，，故，进而得，，故当时，米，问题得解．
 

19.【答案】解：
如图，在上任取一点；
过点在平面内作的垂线，交于；
过点在平面内作的垂线，交于；
连接，若过点，则就是所求线段；
若不过点，则过点作的平行线，与相交即得线段 
       
取中点，连接，因为为三角形的重心，故．
由题意知，，，故面，
于是，故三棱锥的体积为三棱锥体积的                  
由题意，，，，
于是，，                                                                        
故
 

【解析】本题考查了立体几何中的综合知识，属于中档题．
在上任取一点，连接，若过点，则就是所求线段；若不过点，则过点作的平行线，与相交即得线段．
取中点，连接由题意，，，，故
 

20.【答案】解：在直角三角形中，，，
，，，
设，则在中，，
即，
，
点在线段上，点和点不重合，点和点不重合，
，
．
由知，在中，，，
由正弦定理有，



，
，
，当且仅当，
即时，有最小值．
 

【解析】设，则，在中，利用三角函数可求；
求线段长度的最小值，即求线段长度的最小值，利用三角恒等变换化简，从而求最值．
本题主要考查在实际问题中建立三角函数模型，从而利用三角函数中研究最值的方法解决最值问题，应注意角的范围的确定是关键，属于中档题．
 

21.【答案】解：设交交于点，因为，

所以，，，
；
半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，则分析，即可，
，，
所以


令，，
所以，
所以，当，
的最大值为．
 

【解析】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键，属于中档题．
根据题意，求得和，即可求得三角形木块面积；
根据的思路，用表示出和，表示，换元，根据二次函数的最值，求得的最大值．
 

22.【答案】解：，且角为钝角，
，
在中，由余弦定理得：，
，，
解得或舍，
小岛与小岛之间的距离为 ，
，，，四点共圆，角与角互补．
，，
在中，由余弦定理得：，
，，
解得舍或，



，
四个小岛所形成的四边形的面积为平方 ；
在中，
由正弦定理得：，
，
为锐角，，
又，，


．
 

【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的运用，考查和角的三角函数公式，考查解三角形的应用，属于中档题．
利用余弦定理求出，，结合三角形面积公式即可求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
由正弦定理求出，可得，由诱导公式求出，，利用和角的三角函数公式求的值．
 

23.【答案】 解：，，
，，
又，得，
，
又得，
；
由得，
，，
又，可得，
因为，故 不符合舍去，
由，，
图改造后的停车位个，由题意得：
，
即，
，
取整数，
图车位数为个，改造后的停车位增加了个．
 

【解析】本题考查了解三角形的实际应用，是中档题．
先得出，，，由，即可得出；
由，得，可得舍去，得出，由题意得，解出即可．