数学1.5 向量的数量积习题

这是一份数学1.5 向量的数量积习题，共19页。试卷主要包含了5向量的数量积同步练习，0分），若⊥，则实数λ的值为，【答案】B，【答案】D，【答案】C，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
已知向量a，b满足a=4，b在a上投影向量为−12a,则a−3b的最小值为( )
A. 12B. 10C. 10D. 2
下列四个命题是真命题的是( )
A. ∀φ∈R，函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
B. ∃α，β∈R，使cs(α+β)=csα+csβ
C. 向量a=(2,1)，b=(−1,0)，则a在b的方向上的投影为2
D. “|x|≤1”是“x≤1”的必要不充分条件
已知|OA|=1，|OB|=2，∠AOB=60°，OP=λOA+μOB，λ+2μ=2，则OA在OP上的投影( )
A. 既有最大值，又有最小值B. 有最大值，没有最小值
C. 有最小值，没有最大值D. 既无最大值，又无最小值
已知向量a=(1,2)， a+2b=(7,−2)，，则向量a在向量b方向上的投影为( )
A. B. C. D.
已知向量a，b满足a=(1,3)，|b|=1，|a+b|=2，则a在b方向上的投影为( )
A. 1B. 12C. −1D. −12
向量b=(12,32)，a⋅b=12，则向量a在向量b方向上的投影为( )
A. 1B. 32C. 12D. 3
已知ΔABC是边长为2的等边角形，D，E分别是AC，AB的中点，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是
A. AB⋅CE=−1B. BD=12BC+12BA
C. OA+OB+OC=1D. EC在BC方向上的投影为76
已知|a|=6，|b|=3，a·b=−12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A. −4B. 4C. −2D. 2
已知向量b=(1,3)，向量a在b方向上的投影为−6，若(λa+b)⊥b，则实数λ的值为( )
A. 13B. −13C. 23D. 3
若向量a，b满足|a|=2，(a+2b)⋅a=6，则b在a方向上的投影为
A. 1B. 12C. −12D. −1
已知两个单位向量a，b，其中向量a在向量b方向上的投影为12.若(λa+b)⊥(2a−b)，则实数λ的值为
A. −14B. −12C. 0D. 12
已知向量a=(−1,2)，b=(2,−3)，则a−2b在a+b方向上的投影为
A. 1322B. −1322C. 138989D. −138989
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则b在a方向上的投影向量是 ，的最小值是 ．
已知非零平面向量a，b，c满足a·c=b·c=3，|a−b|=|c|=2，则向量a在向量c方向上的投影为 ，a·b的最小值为 ．
已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则b在a方向上的投影为 ，的最小值是 ．
已知向量a=(1,2),b=(2,−2),a⋅b= ，a在b方向上的投影向量是 ．
已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则b在a方向上的投影是 ，|a−λb|(λ∈R)的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
已知向量a=(1,m)，b=(3,−2)．
(1)若(a+b)⊥b，求m的值；
(2)若a⋅b=−1，求向量b在向量a上的投影向量．
已知|a|=2,|b|=1，a与b的夹角为45°．
(1)求a在b方向上的投影；
(2)求|a+2b|的值;
(3)若向量 2a−λb与λa−3b的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
已知向量a在向量b=(1,3)方向上的投影为2，(a−2b)⊥a．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)求|2a−b|的值；
(3)若向量c=3a−4b，d=ma+b，c//d，求m的值．
在平面直角坐标系xOy中，已知向量，b=(csx,sinx)，x∈(0,π2).
(1)若a⊥b，求tanx的值；
(2)若a在b上的投影向量长度为12，求x的值．
利用向量知识可以计算点到直线的距离.例如：直角坐标平面内有一直线y=2x+1，求点P3,4到该直线的距离d.可以按以下步骤计算：第一步，在直线上取两点A0,1和B1,3，则向量AB=1,2；第二步，写出一个与AB垂直的向量n=−2,1；第三步，求出PA在n上的投影向量PA1=(−65,35)；第四步，求出距离d=|PA1|=355.请根据以上方法完成下面两个小题：
(1)求点P1,1到直线y=2x+1的距离；
(2)求点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离．
已知|a|=1，|b|=2．
(1)若向量a与向量b的夹角为135°，求|a+b|及b在a上的投影向量；
(2)若向量a−b与向量a垂直，求向量a与b的夹角
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量模长的运算，向量的数量积，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b的最小值.属于中档题．
根据b在a上投影为−2，以及cs∈−1,0，可得bmin=2；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入bmin即可求得a−3bmin．
【解答】
解：因为a=4，b在a上投影向量为−12a,所以b在a上投影为−2，即bcs=−2
∵b>0 ∴cs<0
又cs∈−1,0 ∴bmin=2
a−3b2=a2−6a⋅b+9b2=a2−6abcs+9b2=9b2+64
∴a−3bmin=9×4+64=10．
故选B．

2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，特殊角的三角函数值，平面向量数量积的坐标表示及投影运算，简易逻辑的充分必要条件的判定，属于低中档次题．
关键是把握函数奇偶性的定义，数量积的坐标表示，以及充分必要条件的判定方法即可求解．
【解答】
解：对于A，∀φ∈R，函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数，不正确因为φ=π2时，函数是偶函数，所以A不正确；
对于B，当α=π2，β=−π4时，cs(α+β)=csα+csβ成立，故B正确，
对于C，向量a=(2,1)，b=(−1,0)，则a在b的方向上的投影为“|a|cs=a⋅b|b|=−21=−2，故C不正确．
对于D，“|x|≤1，则−1≤x≤1，所以“|x|≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，故D不正确；
故选B．

3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量的投影，考查向量的数量积，属于中档题．
先由投影的定义可得OA在OP上的投影为OA⋅OP|OP|=λ+μλ2+2λμ+4μ2①，又λ+2μ=2，将①式变形可得2−μ2λ+4μ2=2−μ4−4μ+4μ2，再利用换元法得到关于t的函数求解即可．
【解答】
解：根据题意得：OA在OP上的投影为
OA⋅OP|OP|=OA·λOA+μOBλOA+μOB2
=λOA2+μOA⋅OBλ2+2λμ+4μ2=λ+μλ2+2λμ+4μ2，①
∵λ+2μ=2，
∴λ=2−2μ代入①得原式=2−μ2λ+4μ2=2−μ4−4μ+4μ2，②
令2−μ=t得μ=2−t，代入②式得，
原式=t2t2−3t+3，
当t>0时，原式=121−3t+3t2=123(1t−12)2+14，显然当t=2时有最大值，无最小值；
当t=0时，原式=0；
当t<0时，原式=t2t2−3t+3=−123(1t−12)2+14，无最小值也无最大值；
故选：B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的投影，属于基础题．
利用投影的定义求a在b方向上的投影．
【解答】
解：
∵a=(1,2)， a+2b=(7,−2)，
∴b=(3,−2)，
∴向量a在b方向上的投影为a·cs=a⋅b|b|=1×3+2×(−2)(−2)2+32=−1313．
故选D．

5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
根据向量a在向量b方向上的投影公式a⋅b|b|，代值计算即可
【解答】
解：由定义，向量a在向量b方向上的投影为a⋅b|b|，
又因为|b|=122+322=1，
所以向量a在向量b方向上的投影为a⋅b|b|=12．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是向量的坐标运算及数量积、求模问题及投影问题，属于中档题．
根据向量数量积、模、投影、向量运算等知识对选项进行分析，由此确定正确选项．
【解答】
解：依题意可知O是等边三角形ABC的中心，OCOE=2．
A选项，AB⊥CE,AB⋅CE=0，A错误．
B选项，BD=12BC+BA=12BC+12BA，B正确．
C选项，OA+OB+OC=2OE+OC=0=0，C错误．
D选项，EC=22−12=3,∠ECB=π6，所以EC在BC方向上的投影为EC⋅csπ6=3×32=32，D错误．
故选：B

8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的投影的概念，要熟练应用公式求解，属于基础题．
根据投影的定义应用公式|a|csα=a·b|b|求解．
【解答】
解：设向量a与向量b的夹角为α，根据投影的定义，
可得向量a在向量b方向上的投影是：
|a|csα=a·b|b|=−4．
故选A．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积平面向量、向量的投影，属于基础题．
由向量a在b方向上的投影为−6，结合b的模可得a·b=−12，由(λa+b)⊥b，可得λa·b+b2=0，即可求得实数λ的值．
【解答】
解：因为向量b=(1,3)，
所以|b|=2，
由向量a在b方向上的投影为−6得，|a|cs=a·b|b|=−6，
即a·b=−12，
因为(λa+b)⊥b，
所以(λa+b)·b=λa·b+b2=−12λ+4=0，
解得λ=13．
故选A．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的数量积，向量的投影，属于基础题．
通过向量的数量积的运算律得a·b=1，然后求解b在a方向上的投影．
【解答】
解：∵|a|=2，a+2b·a=6，
∴a2+2a·b=6，即4+2a·b=6，
∴a·b=1，
∴向量b在a方向上的投影为a⋅ba=12．
故选B．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量的投影、向量垂直及向量的数量积，属于中档题．
记a与b的夹角为θ，则a在b上的投影为|a|csθ=12，根据(λa+b)⊥(2a−b)，可得(λa+b)⋅(2a−b)=0，即可求得实数λ的值．
【解答】
解：记a与b的夹角为θ，则a在b上的投影为|a|csθ，则|a|csθ=12，
若(λa+b)⊥(2a−b)，
则(λa+b)⋅(2a−b)=2λa2−b2+(2−λ)a⋅b=2λ−1+(2−λ)·12=32λ=0，
解得λ=0，
故选C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的投影，考查运算求解能力．
利用向量的数量积求出(a−2b)⋅(a+b)，代入向量投影公式计算即可．
【解答】
解：由题意可得(a−2b)⋅(a+b)=(−5，8)⋅(1，−1)=−13，
|a+b|=12+(−1)2=2，
所以a−2b在a+b方向上的投影为(a−2b)⋅(a+b)|a+b|=−132=−1322．
故选B．
13.【答案】−54a；
3
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量数量积与投影向量的定义，属于基础题．
根据平面向量数量积与投影向量的定义，以及二次函数的性质求解．
【解答】
解：向量a,b的夹角为θ=120°，
且|a|=2，|b|=5，
∴b在a方向上的投影向量是bcsθ×aa=5×−12×a2=−54a；
∴|a−λb|2=a2−2λa·b+λ2b2=25λ2+10λ+4
=25λ+152+3⩾3．
所以|a−λb|(λ∈R)的最小值是3．
故答案为−54a；3．

14.【答案】32
54
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积和平面向量的坐标运算，是较难题．
根据条件容易求出向量a在c方向上的投影为32，并且根据条件可得到(a−b)⊥c，从而可设a−b=(0,2)，c=(2,0)，可设a=(x,y)，b=(x,2−y)，由a⋅c=3便可得出x=32，从而a=(32,y)，b=(32,y−2)，这便可得到a⋅b=94+y2−2y，配方便可求出a⋅b的最小值．
【解答】
解：向量a在向量c方向上的投影为：a⋅c|c|=32，
由a⋅c=b⋅c得，(a−b)⋅c=0，
∴(a−b)⊥c，
∵|a−b|=|c|=2，
∴设a−b=(0,2)，c=(2,0)，
设a=(x,y)，则b=(x,y−2)，
∴a⋅c=2x=3，
∴x=32，
∴a=(32,y)，b=(32,y−2)，
∴a⋅b=94+y2−2y=(y−1)2+54≥54，
∴a⋅b的最小值为54．
15.【答案】−52
3
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量数量积与投影的定义，属于中档题．
根据平面向量数量积与投影的定义以及二次函数的性质求解．
【解答】
解：向量a,b的夹角为θ=120°，
且|a|=2，|b|=5，
∴b在a方向上的投影是bcsθ=5×−12=−52；
∴|a−λb|2=a2−2λa·b+λ2b2=25λ2+10λ+4
=25λ+152+3⩾3，
所以当λ=−15时，|a−λb|(λ∈R)的最小值是3．
故答案为−52；3．
16.【答案】−2
−12,12
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的数量积公式的应用，考查了向量的投影向量的概念，属于基础题．
先根据向量的数量积公式直接求解得a·b=−2，再根据投影向量的概念求出a在b方向上的投影向量．
【解答】
解：∵a=1,2,b=2,−2,
∴a·b=1×2+2×−2=−2;
∴a=12+22=5,b=22+−22=22．
∴cs=a·bab=−25×22=−1010．
∴a·−1010=−22．
又bb=22,−22，
∴a在b方向上的投影向量是−22·22,−22=−12,12．
故答案为：−2；−12,12．
17.【答案】−52
3
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积、向量的模、向量的投影，属于基础题．
求出a·b，代入公式a·ba，即可求出b在a方向上的投影，利用a−λb=a−λb2
=a2−2λa·b+λ2b2=4+10λ+25λ2，即可求出最小值．
【解答】
解：因为平面向量a,b的夹角为120°，且|a|=2,|b|=5，
所以a·b=2×5×cs120°=−5，
所以b在a方向上的投影是a·ba=−52，
因为a−λb=a−λb2
=a2−2λa·b+λ2b2=4+10λ+25λ2
=25λ+152+3⩾3，
所以|a−λb|(λ∈R)的最小值是3．
故答案为−52,3．
18.【答案】解：(1)a+b=(4,m−2)；
∵(a+b)⊥b；
∴3×4−2(m−2)=0；
∴m=8；
(2)a⋅b=3−2m=−1；
∴m=2；
∴a=(1,2)；
∴b在向量a上的投影向量为|b|cs·a|a|=a⋅b|a|·a|a|
=−15·a|a|=−15a．
【解析】本题考查向量加法和向量数量积的坐标运算，向量垂直的坐标表示，以及投影向量的概念．
(1)先得到a+b=(4,m−2)，根据(a+b)⊥b即可得到(a+b)⋅b=0，即可求出m的值；
(2)根据a⋅b=−1即可求出m=2，从而得出a=(1,2)，即可求解．
19.【答案】解：(1)∵|a→|=2， |b→|=1， a→与b→的夹角为45∘，
∴|a→|cs45∘=2×22=1，
∴a→在b→方向上的投影为1；
(2)∵|a→+2b→|=|a→+2b→|2=|a→|2+4|a→||b→|cs45∘+|2b→|2=2+4+4=10，
∴|a→+2b→|=10；
(3)∵(2a→−λb→)与(λa→−3b→)的夹角是锐角，
∴(2a→−λb→)⋅(λa→−3b→)>0，且(2a→−λb→)与(λa→−3b→)不能同向共线，
∴λ2−7λ+6<0， 2a→−λb→≠k(λa→−3b→)， k>0，
∴1<λ<6或6<λ<6．
【解析】本题考查了向量的数量积，向量的投影以及向量的夹角．
(1)直接根据向量的模与向量的夹角求解即可；
(2)根据向量的数量积求解即可；
(3)向量2a−λb与λa−3b的夹角是锐角，则(2a−λb)⋅(λa−3b)>0且(2a→−λb→)与(λa→−3b→)不能同向共线，则答案可得．
20.【答案】解：(1)∵b=(1,3)，∴b=12+32=2，
∵向量a在向量b方向上的投影为2，
设向量a与b的夹角为θ，则acsθ=2，
∴a·b=abcsθ=2×2=4，
∵(a−2b)⊥a，∴a−2b·a=0，
即a2−2a·b=0，∴a2=8，则a=22，
则csθ=a·ba·b=22，
又，，
∴向量a与b的夹角为π4；
(2)2a−b=2a−b2=4a2−4a·b+b2=32−16+4=25．
(3)∵c//d，∴c=λd，
∴3a−4b=λma+b，
∵a、b不共线，
∴3=λm−4=λ，解得m=−34．
【解析】本题考查向量的数量积，向量的夹角以及向量的模的求法，向量垂直与平行的判定，向量的投影的求解，属于中档题．
(1)先求出b，再利用向量a在向量b方向上的投影为2，求出a·b，由(a−2b)⊥a得到a=22，再利用夹角公式求出两向量a→与b→的夹角；
(2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模；
(3)由c//d，则存在实数λ，使得c=λd成立，由此利用向量相等可得参数值．
21.【答案】解：(1)因为a⊥b，所以a·b=0，
故，所以tanx=3．
(2)因为a在b上的投影向量长度为12，所以，
即，
当时，x∈(0,π2)，所以，
所以，即x=π6，
当时，，所以不存在．
综上：所以x的值为π6．
【解析】本题主要考查向量垂直的坐标表示，投影向量的概念等，属于中档题．
(1)可得，即可求tanx的值；
(2)a在b上的投影向量长度为12，再利用投影向量的概念进行求解即可求x的值．
22.【答案】解：(1)在直线上取两点A(0,1)和B(1,3)，则向量AB=(1,2)
取向量n=(−2,1)，可知n⊥AB，PA=−1,0．
可得PA在n上的投影向量PA1=PA·nn·nn=25·−2,15=−45,25．
所以，所求距离d=|PA1|=255.
(2)在直线上取两点A(x1,kx1+b)和B(x2,kx2+b)，则向量AB=(x2−x1,k(x2−x1))
取向量n=(−k(x2−x1),x2−x1)，可知n⊥AB，
可得PA在n上的投影向量PA1=kx0−y0+bk2+1(−k,1)．
所以，所求距离d=|PA1|=kx0−y0+bk2+1．
【解析】本题主要考查了向量的投影向量，向量的模，向量的坐标运算，新定义的应用，属于中档题．
(1)在直线上取两点A(0,1)和B(1,3)，则向量AB=(1,2)，求出n，，
可得PA在n上的投影向量.利用求模公式求出|PA1|；
(2)在直线上取两点A(x1,kx1+b)和B(x2,kx2+b)，求出AB和n=(−k(x2−x1),x2−x1)，即可求解．
23.【答案】解：(1)由已知得|a+b|2=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2
=1+2×1×2×(−22)+2=1，
∴|a+b|=1；
b在a上的投影向量为bcs 135°·a=2×(−22)·a=−a．
(2)由已知得(a−b)⋅a=0，即a2−a⋅b=0，∴a⋅b=1．
∴cs ⟨a,b⟩=a⋅b|a|b=11×2=22,
∵⟨a,b⟩∈[0,π]，
∴向量a与b的夹角为π4．
【解析】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，投影向量的求解，属于中档题．
(1)根据平面向量数量积的运算律求出a+b，再根据投影向量公式求出b在a上的投影向量；
(2)根据向量垂直，数量积为零，即可得到a⋅b=1，再根据夹角公式计算可得．