必修 第二册1.6 解三角形教学设计

余弦定理

【教学目标】

1、掌握用向量推导余弦定理的方法．

2、能运用余弦定理解决“两边及其夹角”和“三边”这两类基本的解三角形问题．

3、让学生经历公式的推导过程，培养学生严谨的思维及解决问题的能力．

【教学重点】  余弦定理的推导过程及基本应用．

【教学难点】  余弦定理的推导过程及基本应用．

【教学方法】  问题探究式．

【教学手段】  计算机、投影仪．

【核心素养】  数学运算

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

1、在初中，我们借助锐角三角函数的有关知识解决了一些有关直角三角形的问题．在实际生活中，我们往往更多遇到的是有关斜三角形的问题，那么如何求解呢？

2、三角形有六个最基本的元素——三条边和三个内角．通常只要知道三个元素（其中至少包括一条边）就可以求出其余三个未知元素．这种从已知三角形的某些元素出发，求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形．

3、通过初中对三角形全等的学习，我们知道，已知三角形的两边及其夹角就可以完全确定这个三角形，若夹角是直角，则利用勾股定理可求出第三边；若夹角不是直角，如何求第三边呢？我们刚刚学习完向量，我们能不能用向量的相关知识解决这个问题呢？

〖设计意图〗从学生熟悉的直角三角形入手，激发学习兴趣．

二、归纳探索，形成概念

1、如图，已知的两边，以及两边夹角，求边．

问题1：令，，如何用表示？

预案：．

问题2：如何求？

预案：可先求．

   问题3：令，能得到什么？

预案：，或．

问题4：将中的角依次换成另外两个角后，能得到什么？

预案：，．

问题5：你能归纳出这三个式子的共同点吗？

预案：这三个式子，形式相同，可以统一表述为：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

这就是我们今天要学习的余弦定理．

〖设计意图〗通过问题串的层层深入，引导学生推导出余弦定理，并能自己归纳出余弦定理的内容．

2、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即

，

，

．

问题：应用余弦定理可以解决什么类型的问题？

预案：已知三角形的两边及其夹角，求第三边．

〖设计意图〗加深对余弦定理内容的理解，并知道余弦定理的适用条件．

3、问题1：当余弦定理三个式子中的角是直角时，你能得到什么？

预案：，，，即勾股定理．

问题2：勾股定理与余弦定理有什么关系？

预案：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况．

问题3：你能将余弦定理中的三个式子进行变形，使边在等号的一侧，角在等号的另一侧吗？

预案：，，．

即：已知三角形的三条边，可以求出这个三角形的三个内角．

问题4：应用余弦定理的变形公式可以解决什么类型的问题？

预案：已知三角形的三边，求任意一个内角．

〖设计意图〗引导学生发现余弦定理与勾股定理的关系和余弦定理的变形公式及其适用条件．

三、掌握证法，适当延展

例1、在中，已知，，，求和．

解：由余弦定理得

，

所以．

再由余弦定理可得

．

因为是三角形的内角，所以．

例2、如图，在中，，，，求的面积．

解：由已知条件，并根据余弦定理可得

，

整理得    ．

解得    或（舍去）.

作边上的高，则

，

因此．

例3、已知的三边分别为，和，试求最大内角的度数．

解：根据三角形中大边对大角的原理可知，是的最大内角．

由余弦定理得

．

因为是三角形的内角，所以．

因此最大内角为．

〖设计意图〗应用余弦定理解决基本问题，加深对余弦定理的认识．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1、小结

（1）余弦定理的内容：，，．

（2）变形公式：，，．

（3）适用条件：①已知两边及其夹角，求第三边；②已知三边，求任一内角．

2、作业

（1）在中，

①已知，，，求；

②已知，，，求；

③已知，，，求.

（2）在中，，分别是，，的对边，若，求.

（3）如图，已知是中边上的中线.求证：.