2021学年第1章 平面向量及其应用1.6 解三角形课时作业

这是一份2021学年第1章 平面向量及其应用1.6 解三角形课时作业，共21页。试卷主要包含了0分），【答案】D，【答案】B，【答案】A，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1e2的最大值为( )
A. 3B. 2C. 433D. 233
根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点F1，F2构成的三角形PF1F2面积约为4803(万千米)2，，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为( )
A. x2382+y240×36=1B. x2362+y2142=1
C. x2482+y248×36=1D. x2482+y236×24=1
如图，F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上的点，Q是线段PF1上靠近F1的三等分点，△PQF2为正三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. 22
B. 34
C. 23
D. 75
在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若ccsB+bcsC=asinA，S=34(b2+a2−c2)，则∠B=( )
A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘
已知双曲线x2−y2=1，F1、F2为左右焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2=π3，则三角形F1PF2的面积为( )
A. 2B. 22C. 3D. 23
设F1，F2分别为曲线C1:x26+y22=1的左、右焦点，P是曲线C2:x23−y2=1与C1的一个交点，则cs∠F1PF2的值是( )
A. 14B. 13C. 23D. −13
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )
A. 65
B. 64
C. 63
D. 66
已知在△ABC中，a=1，b=2，C=60°，则c等于( )
A. 3B. 2C. 5D. 5
ΔABC中，三边之比a:b:c=2:3:4，则sinA−2sinBsin2C等于( )
A. 12B. −12C. 2D. −2
△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，B=45∘，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为( )
A. 43B. 5C. 52D. 62
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b-c=14a，2sinB=3sinC，则csA的值为( )
A. -14B. 14C. 13D. -13
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2−c2=4，C=120°，则△ABC的面积为( )
A. 33B. 233C. 3D. 23
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=22且△ABC面积为，则角B= ，△ABC面积S的最大值为 ．
在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，点D在线段AC上.若∠BDC=45∘，则BD= (1) ，cs∠ABD= (2) ．
已知△ABD和△CBD是同一平面内共斜边的两个直角三角形，AB=1,BC=2，∠ABC=135∘，则BD的长为 ，cs∠DBC=
为了给市民提供健身场所，某市因地制宜计划在一个圆形的区域内修建一个如图所示的内接四边形健身步道AB−BC−CD−DA，其中A，B，C，D为休息点，AC，BD为便捷通道，现已知|AB|+|AD|=4，∠DAB=120∘，则|BD|的最小值为 ;若∠ADC=∠ABC，则|AC|的最小值为 ．
在△ABC中，三边长分别为a=4，b=5，c=6，则△ABC的最大内角的余弦值为 ，△ABC的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
(1)求cs∠ADB；
(2)若DC=22，求BC．
双曲线C与椭圆x227+y236=1有相同的焦点，且经过点(15,4)．
(1)求双曲线C的方程;
(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2=120∘，求△F1PF2的面积．
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcs C+ccs B=−4cs A，a=2．
(1)求角A的值；
(2)若△ABC的面积为33，求△ABC的周长．
ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知cs2A+cs2B+2sinAsinB=1+cs2C．
(1)求角C．
(2)设D为边AB的中点，ΔABC的面积为2，求CD2的最小值．
如图，角A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角，AB=6,BC=3,CD=4．
(1)若B=60∘,∠DAC=30∘，求sinD；
(2)若∠BAD+∠BCD=180∘,AD=5，求cs∠BAD．
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)设a=2，c=3，求b和的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，属于中档题．
先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c，根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到：1e12+3e22=4，利用基本不等式可得结论．
【解答】
解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P为第一象限的点，如图：
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，
则根据椭圆及双曲线的定义知|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|−|PF2|=2a2，
∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1−a2．
设|F1F2|=2c，在△PF1F2中，∠F1PF2=π3，
由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)csπ3，
化简得a12+3a22=4c2，即1e12+3e22=4，
∴1e12+3e22=4≥23e12e22，
∴1e1e2≤233，
当且仅当e1=22,e2=62时，等号成立，
则1e1e2的最大值为233，
故选D．

2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，性质及几何意义，考查三角形面积公式、余弦定理，属于中档题．
由题意得a−c=36①，在三角形PF1F2中，由三角形面积公式和余弦定理得4c2=4a2−3×1920②，再结合b2=a2−c2，解得椭圆方程．
【解答】
解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
依题意a−c=36，①
∵12PF1⋅PF2sinπ3=4803，∴PF1⋅PF2=1920，
由余弦定理得4c2=PF12+PF22−2PF1⋅PF2cs60°，
∴4c2=(PF1+PF2)2−3PF1⋅PF2，
∴4c2=4a2−3×1920，②，
由①②得a=38，c=2，
∴b2=a2−c2=382−4=40×36，
则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为：x2382+y240×36=1．
故选A．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质和几何意义，属于中档题．
由椭圆的定义结合已知求得32|PQ|+|PF2|=2a，又△PQF2为正三角形，可得|PF2|=4a5，|PF1|=6a5，在△PF1F2中，利用余弦定理，结合离心率公式可得e2=725，从而可求答案．
【解答】
解：由椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|=2a，则32|PQ|+|PF2|=2a，
因为△PQF2为正三角形，所以|PF2|=4a5，|PF1|=6a5．
在△PF1F2中，由余弦定理得 4c2=1625a2+3625a2−2×4a5×6a5×cs60∘=2825a2，
则e2=725，∴e=75．
故答案选：D．

4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．
利用已知条件和正弦定理求得，再根据余弦定理和三角形面积公式解得C=π3，根据三角形内角和，即可得到角B．
【解答】
解：∵ccsB+bcsC=asinA，
∴根据正弦定理：sinCcsB+sinBcsC=sin2A，
∴sin(B+C)=sin2A，∴sinA=sin2A，
∵A为△ABC内角，∴sinA>0，
∴sinA=1，，
∵S=34b2+a2−c2，
∴根据余弦定理：
，
又，
则，
则，即，
又C∈0,π2，所以C=π3，
∵B为△ABC内角，．
故选D．

5.【答案】C
【解析】解：由双曲线x2−y2=1的a=b=1，c=2，
F1(−2,0)，F2(2,0)，
由余弦定理可得，
=(PF1−PF2)2+PF1⋅PF2=4+PF1⋅PF2，
∴PF1⋅PF2=4．
则
=12×4×32=3．
故选C．
由题意可得F1(−2,0)，F2(2,0)，由余弦定理可得PF1⋅PF2=4，由，计算即可得到所求．
本题考查双曲线的性质，余弦定理，三角形的面积公式，是中档题．
6.【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义及余弦定理的应用．
不妨设P为第一象限的交点.则|PF1|+|PF2|=26，|PF1|−|PF2|=23，解得|PF1|=6+3，|PF2|=6−3.又|F1F2|=4，再由余弦定理求出结果．
【解答】解：曲线C1:x26+y22=1与曲线C2:x23−y2=1的焦点重合，
两曲线共有四个交点，不妨设P为第一象限的交点．
则|PF1|+|PF2|=26，|PF1|−|PF2|=23，
解得|PF1|=6+3，|PF2|=6−3．
又|F1F2|=4，在△F1PF2中，由余弦定理可求得
cs∠F1PF2=(6+3)2+(6−3)2−422×(6+3)×(6−3)=13，故选B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的求法，考查了余弦定理，是基础题．
由AC//A1C1，知∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．
【解答】
解：连接BC1，
∵AC//A1C1，
∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角或其补角，
∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，
∴AB=1+1=2，A1B=4+2=6，BC1=4+1=5，A1C1=1，
∴cs∠C1A1B=A1C12+A1B2−BC122×A1C1×A1B=1+6−52×1×6=66，
∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为66．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了余弦定理，根据余弦定理求解即可．
【解答】解：由余弦定理，得c2=12+22−2×1×2cs60°=3，所以c=3．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．
先设出三边长，由余弦定理求出csC，由正弦定理把角化成边得sinA−2sinBsin2C=a−2b2ccsC，
代入数值即可．
【解答】
解：令a=2k，b=3k，c=4k (k>0)，
由余弦定理得csC=4k2+9k2−16k22×2×3k2=−14，
由正弦定理得sinA−2sinBsin2C=a−2b2ccsC=2−68×(−14)=2．
故选C．

10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．
先由三角形的面积得到c=42，再由余弦定理得b=5，最后利用正弦定理bsinB=2R即可得解．
【解答】
解：∵S△ABC=2，
∴12acsinB=2，
∴12×1×c×22=2，
∴c=42．
∵b2=a2+c2−2accsB，
∴b2=12+(42)2−2×1×42×22=25，
∴b=5．
设△ABC的外接圆半径为R．
∵bsinB=2R，
∴2R=5sin45∘=52．
故选C．

11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理和余弦定理的运用，将a，b统一由c表示是解题的关键，属于基础题．
由条件利用正弦定理求得a=2c，b=32c，再由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc的值．
【解析】
解：在△ABC中，∵b−c=14a，2sinB=3sinC，
利用正弦定理可得2b=3c，求得a=2c，b=32c.
再由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc
=(32c)2+c2−4c22×3c2×c=−14，
故选：A．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了余弦定理和三角形面积公式，由余弦定理得，得ab=4，再由三角形面积公式即可得出结果．
【解答】
解：由(a+b)2−c2=4，得c2=a2+b2+2ab−4，
又，C=120°，
，即，即ab=4，
，
故选C．

13.【答案】5π6
4−23
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由已知利用三角形的面积公式可求tanB，从而得到B，可得csB，sinB的值，由余弦定理，基本不等式可求ac≤8(2−3)，根据三角形的面积公式即可求解其最大值．
【解答】
解：∵S=312(b2−a2−c2)=312⋅(−2accsB)=12acsinB，
∴tanB=−33，∵B∈(0,π)，则B=5π6，
csB=−32，sinB=12，
又∵b=22，由余弦定理可得：8=a2+c2+3ac≥(2+3)ac，
当且仅当a=c时取等号，
∴ac≤82+3=8(2−3)，
∴S△ABC=12acsinB≤12×8(2−3)×12=4−23．
∴B=5π6，面积S的最大值为4−23．
故答案为5π6；4−23．
14.【答案】1225;7210
【解析】
【分析】本题考查正弦定理及两角和的正弦公式的应用．考查学生计算能力，属于基础题．
在△BCD中，利用正弦定理计算BD，利用正弦的和角公式计算，再利用诱导公式即可得到cs∠ABD的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，易得AC=5，sinC=ABAC=45．
在△BCD中，由正弦定理得
BD=BCsin∠BDC×sin∠BCD=322×45=1225，
sin∠DBC=sin[π−(∠BCD+∠BDC)]=sin(∠BCD+∠BDC)
=sin∠BCDcs∠BDC+cs∠BCDsin∠BDC=45×22+35×22=7210．
又∠ABD+∠DBC=π2，
所以cs∠ABD=sin∠DBC=210．
故答案为1225 ； 7210
15.【答案】10
55
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理和余弦定理，熟记定理是解题的关键．
先由已知判断A，B，C，D四点共圆，再根据正弦定理和余弦定理求解即可．
【解析】
解：△ABD和ΔCBD是同一平面内共斜边的两个直角三
角形，所以A，B，C，D四点共圆，且BD为直径，
又∠ABC=3π4，所以∠ADC=π4，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs3π4=5，所以AC=5，
设△ABC的外接圆半径为R，则
2R=ACsin∠ABC=522=10，所以BD=10．
在RtΔABD中，cs∠DBA=55⋅
又因为同弧所对的圆周角相等，
所以∠DCA=∠DBA，所以cs∠DCA=55⋅
16.【答案】23
4
【解析】
【分析】
本题考查了余弦定理，正弦定理，利用基本不等式求最值，属中档题．
设AB=x，AD=y，则x+y=4，在△ABD中，利用余弦定理和基本不等式求最值可得|BD|的最小值，然后利用正弦定理求四边形ABCD内接圆的直径，再进行后面的求解可得．
【解答】
解：设AB=x，AD=y，则x+y=4，
在△ABD中，|BD|2=x2+y2−2xycs120∘=x2+y2+xy，
=(x+y)2−xy≥(x+y)2−(x+y2)2=34(x+y)2=12，
(当且仅当x=y时取等)，|BD|min=23，
四边形ABCD内接于圆O，且∠ADC=∠ABC，则∠ADC=∠ABC=90∘，
则AC为该四边形外接圆的直径，由|BD|sinA=2R=|AC|，
所以|AC|min=4．
故答案为23；4．
17.【答案】18
1574
【解析】
【分析】
由题意可得，角C是△ABC的最大内角，由余弦定理即可求出csC的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，从而得到△ABC的面积．
本题主要考查了余弦定理以及三角形面积公式，是基础题．
【解答】
解：∵c>b>a，可知角C是△ABC的最大内角，
由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=16+25−362×4×5=18，
又∵C∈(0,π)，∴sinC=1−(18)2=378，
∴△ABC的面积为12ab⋅sinC=1574，
故答案为：18，1574．

18.【答案】解：(1)∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得：ABsin∠ADB=BDsin∠A，即2sin∠ADB=5sin45∘，
∴sin∠ADB=2sin45°5=25，
∵AB∴cs∠ADB=1−(25)2=235．
(2)∵∠ADC=90°，
∴cs∠BDC=sin∠ADB=25，
∵DC=22，
∴BC=BD2+DC2−2×BD×DC×cs∠BDC
=25+8−2×5×22×25=5．
【解析】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是拔高题．
(1)由正弦定理得2sin∠ADB=5sin45∘，求出sin∠ADB=25，由此能求出cs∠ADB；
(2)由∠ADC=90°，得cs∠BDC=sin∠ADB=25，再由DC=22，利用余弦定理能求出BC．
19.【答案】解：(1)椭圆的焦点为F1(0,−3)，F2(0,3)，
设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1，
则a2+b2=32=9． ①
又双曲线经过点(15,4)，所以16a2−15b2=1． ②
解 ① ②得a2=4，b2=5或a2=36，b2=−27(舍去)，
故所求双曲线C的方程为y24−x25=1．
(2)由双曲线C的方程，知a=2，b=5，c=3．
设|PF1|=m，|PF2|=n，则|m−n|=2a=4，
平方得m2−2mn+n2=16.③
在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2=m2+n2−2mncs120∘=m2+n2+mn=36.④
由③④得mn=203，
所以△F1PF2的面积为S=12mnsin120∘=533．
【解析】本题考查双曲线的标准方程，涉及余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题．
(1)由已知可设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1，则a2+b2=32=9． ①，又双曲线经过点(15,4)，所以16a2−15b2=1． ②，联立 ① ②可求得a2,b2，可得双曲线C的方程;
(2)由于点P在双曲线C上，由双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式可求得．
20.【答案】解：(1)方法一：在▵ABC中，由余弦定理得
，
因为bcsC+ccsB=−4csA，a=2，
所以2=−4cs A，得cs A=−12．
又因为A∈0,π，
故A=2π3．
方法二：由题设知，bcs C+ccs B=−4cs A，a=2，
则有bcsC+ccsB=−2acsA．
由正弦定理得sin Bcs C+sin Ccs B=−2sin Acs A，
即sinB+C=−2sinAcsA．
因为A+B+C=π，
所以sin A=−2sin Acs A．
又因为A∈0,π，
所以sinA≠0，
从而有cs A=−12，得A=2π3．
(2)因为▵ABC的面积为33，
所以12bcsinA=33．
又因为A=2π3，所以bc=43．
在▵ABC中，由余弦定理得，
，
又a=2，
所以4=(b+c)2−43，即(b+c)2=163．
又b+c>0，
所以b+c=433．
故△ABC的周长为a+b+c=2+433=6+433．
【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，属于中档题．
(1)方法一：bcsC+ccsB=−4csA，利用余弦定理将等式化为a=−4csA，a=2，即可求A;
方法二：正弦定理得sinBcsC+sinCcsB=−2sinAcsA，即sinB+C=−2sinAcsA.因为A+B+C=π，所以sin A=−2sin Acs A，求出csA，即可解决．
(2)由面积公式得12bcsinA=33，求出bc，再利用余弦定理求b+c，进而求出周长．
21.【答案】解：(1)△ABC中，由cs2A+cs2B+2sinAsinB=1+cs2C，
得1−2sin2A+1−2sin2B+2sinAsinB=1+1−2sin2C，
化简得ab=a2+b2−c2，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，
又C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)由S△ABC=12absinC，即2=12ab⋅32，所以ab=833；
由CD=12(CA+CB)，所以CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB)，
则CD2=14(b2+a2+2abcsC)=14(b2+a2+ab)≥14(2ab+ab)=23，
当且仅当a=b时取等号；
所以CD2的最小值为23．
【解析】本题考查了平面向量的数量积和解三角形的应用问题，是中档题．
(1)利用三角恒等变换和正弦、余弦定理，即可求出C的值；
(2)根据三角形的面积公式和平面向量的数量积，利用基本不等式，即可求得CD2的最小值．
22.【答案】解：(1) 在△ABC中,csB=32+62−AC22×3×6=12，
∴AC2=32+62−3×6=27，
∴AC=33，
，
(2) ，
，
，
，
∴52+62−BD22×5×6+32+42−BD22×3×4=0，
即2(25+36−BD2)+5(9+16−BD2)120=0，
∴2×61−2BD2+5×25−5BD2=0，
所以7BD2=247，则BD=2477，
．
【解析】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查诱导公式的应用．
(1)在△ABC中，由余弦定理得AC，然后在△ACD中利用正弦定理即可求解;
(2)将cs∠ABD和cs∠BCD用BD表示，然后利用求出BD，进而利用余弦定理求解即可．
23.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，得bsinA=asinB，
又bsinA=acs(B−π6)，
∴asinB=acs(B−π6)，
即sinB=cs(B−π6)=csBcsπ6+sinBsinπ6=32csB+12sinB，
∴tanB=3，
又B∈(0,π)，∴B=π3．
(Ⅱ)在△ABC中，a=2，c=3，B=π3，
由余弦定理得b=a2+c2−2accsB=7，
由bsinA=acs(B−π6)，得sinA=37，
∵a∴csA=27，
∴sin2A=2sinAcsA=437，
cs2A=2cs2A−1=17，
∴sin(2A−B)=sin2AcsB−cs2AsinB=437×12−17×32=3314．
【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，是中档题．
(Ⅰ)由正弦定理得bsinA=asinB，结合bsinA=acs(B−π6)，由此能求出B．
(Ⅱ)由余弦定理得b=7，由bsinA=acs(B−π6)，得sinA=37，csA=27，由此能求出sin(2A−B)．