高中湘教版（2019）1.6 解三角形课时训练

这是一份高中湘教版（2019）1.6 解三角形课时训练，共13页。

题组一 对正弦定理的理解
1.(2020甘肃临夏中学高二上第一次月考)在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是( )
2.(2020陕西西安中学高一下期末)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=3,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为( )
A.π4B.πC.2πD.4π
3.(2021湖南娄底娄星高二上期中)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A =13,b=3sin B,则a=( )
题组二 已知两角及任一边解三角形
4.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长是( )
5.在△ABC中,AC=6,cs B=45,C=π4,求AB的长.
题组三 已知两边和其中一边的对角解三角形
6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,a=26,c=22,A=π3,则角C的大小为( )
A.π4或3π4B.π6或5π6C.π6D.π4
7.在△ABC中,b=43,c=2,C=30°,那么此三角形( )
A.有一解B.有两解
C.无解D.解的个数不确定
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,b=2,B=45°,求角C.
题组四 利用正弦定理判断三角形的形状
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin A+bsin BA.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不确定
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
题组五 三角形的面积公式及其应用
11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=5,b=4,cs C=45,则△ABC的面积是( )
A.8B.6
C.4D.2
12.在△ABC中,已知A=30°,a=8,b=83,则△ABC的面积为( )
A.323B.16
C.323或16D.323或163
13.若锐角△ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于 .
能力提升练
题组一 利用正弦定理解三角形
1.()在△ABC中,a=1,b=x,∠A=30°,若△ABC有两解,则x的取值范围是( )
A.1,233B.(1,+∞)
C.233,2D.(1,2)
2.(2020河北石家庄第二中学高一下期末,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若csinB+bsinC=2a,则角A的大小是( )
A.π2B.π3C.π4D.π6
3.(多选)()在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( )
A.b=7,c=3,C=30°
B.b=5,c=4,B=45°
C.a=6,b=33,B=60°
D.a=20,b=30,A=30°
题组二 利用正弦定理判断三角形的形状
4.()在△ABC中,若sin A=2sin Ccs B,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.等腰三角形D.直角三角形
5.()在△ABC中,sin A=sinB+sinCcsB+csC,则这个三角形的形状为 .
题组三 三角形的面积公式及其应用
6.()在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=6,cs A=78,则△ABC的面积等于( )
C.2D.3
7.()已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积S=3,且2bcs A=2c-a,a+c=4,则△ABC的周长为( )
A.4+3B.6C.4+23D.8
8.(2020江西九江第一中学高二上期末,)已知△ABC的外接圆直径是924,若|BA|·|BC|=6,|BA-BC|=3,则S△ABC=( )
9.(2020河北张家口宣化一中高一上期末,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sin Acs C=3cs Asin C.
(1)求b;
(2)若a=6,求△ABC的面积.
题组四 正弦定理的综合应用
10.()在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,sin B+sin C=2sin A,则BC边上的中线AD的长的取值范围是 .
11.(2020辽宁葫芦岛六校协作体高三上学期期中,)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,a(sin A+4sin B)=8sin A.
(1)若b=1,A=π6,求sin B;
(2)已知C=π3,当△ABC的面积取得最大值时,求△ABC的周长.
答案全解全析
基础过关练
1.A 由asinA=bsinB,知sinAsinB=ab,因为a=5,b=3,所以sin A∶sin B的值是53.
2.B 在△ABC中,A=75°,B=45°,
所以C=180°-A-B=60°.
设△ABC的外接圆的半径为R,
则由正弦定理,可得2R=csinC=332=2,
解得R=1,故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.
3.D 由asinA=bsinB,得a=bsinAsinB=3sinB×13sinB=33 .
4.A 在△ABC中,A=180°-B-C=75°,∴角B最小,由“小角对小边”得最短边是b,由bsinB=csinC,得b=csinBsinC=sin45°sin60°=63.
5.解析 ∵cs B=45,0∴sin B=1-cs2B=1-452=35.
由正弦定理,得ACsinB=ABsinC,
∴AB=AC·sinCsinB=6×2235=52.
6.C 由asinA=csinC得26sinπ3=22sinC,
解得sin C=12,所以C=π6或C=5π6.
因为a>c,所以C7.C 解法一:由正弦定理和已知条件,得43sinB=2sin30°,
∴sin B=3.
∵3>1,∴此三角形无解.
解法二:∵c=2,bsin C=23,
∴c故此三角形无解.
8.解析 由asinA=bsinB得3sinA=2sin45°,
解得sin A=32,
所以A=60°或A=120°,
因为120°+45°<180°,
所以A=120°也符合要求.
当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°.
9.C 由扩充的正弦定理及已知,得a2+b2所以a2+b2-c2<0,
由余弦定理,得cs C=a2+b2-c22ab<0,
所以角C为钝角,即△ABC为钝角三角形.
10.C 由b2+c2=a2+bc及余弦定理知cs A=b2+c2-a22bc=12,所以A=π3,
又由sin B·sin C=sin2A及扩充的正弦定理得bc=a2,所以bc=b2+c2-bc,
所以(b-c)2=0,即b=c,
所以△ABC为等边三角形.
11.B 因为cs C=45,C∈(0,π),
所以sin C=35,
所以S△ABC=12absin C=12×5×4×35=6.
12.D 在△ABC中,由asinA=bsinB,
得sin B=bsinAa=83×128=32,
所以B=60°或B=120°.
当B=60°时,C=180°-30°-60°=90°,
所以S△ABC=12×8×83=323;
当B=120°时,C=180°-30°-120°=30°,
所以S△ABC=12absin C=12×8×83×12=163.
综上,△ABC的面积为323或163.
13.答案 7
解析 由已知得△ABC的面积为12AB·ACsin A=20sin A=103,
所以sin A=32,
因为A∈0,π2,所以A=π3.
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs A=49,所以BC=7.
能力提升练
1.D 如图,三角形有两解的条件为bsin A故x的取值范围是12.A 由csinB+bsinC=2a,得sinCsinB+sinBsinC=2sin A,
在三角形ABC中,sin A,sin B,sin C都是正数,
所以sinCsinB+sinBsinC≥2sinCsinB·sinBsinC=2,当且仅当sin C=sin B,即B=C时,等号成立.
而2sin A≤2,
所以要使sinCsinB+sinBsinC=2sin A成立,
需满足sin A=1且sin C=sin B,从而A=π2.
故选A.
3.BC 对于A,∵b=7,c=3,C=30°,
∴由正弦定理可得sin B=bsinCc=7×123=76>1,无解;
对于B,∵b=5,c=4,B=45°,
∴由正弦定理可得sin C=csinBb=4×225=225<1,且c对于C,∵a=6,b=33,B=60°,
∴由正弦定理可得sin A=asinBb=6×3233=1,∴A=90°,此时C=30°,有一解;
对于D,∵a=20,b=30,A=30°,
∴由正弦定理可得sin B=bsinAa=30×1220=34<1,且b>a,∴有两解.
故选BC.
4.C 因为sin A=2sin Ccs B,asinA=csinC,所以a=2ccs B,
又cs B=a2+c2-b22ac,
所以a=2c·a2+c2-b22ac,
即b2=c2,即b=c,
因为无法判断角A是锐角、钝角还是直角,
所以△ABC是等腰三角形.
故选C.
5.答案 直角三角形
解析 由题意得a=b+cc2+a2-b22ca+a2+b2-c22ab,
即(b+c)a2=b3+c3+bc(b+c),
所以a2=b2-bc+c2+bc,则a2=b2+c2,
故△ABC是直角三角形.
6.A 因为b2-bc-2c2=0,
所以(b-2c)(b+c)=0,所以b=2c.
又a2=b2+c2-2bccs A,所以c=2,b=4,
因为cs A=78,所以sin A=158,
所以S△ABC=12bcsin A=12×4×2×158=152.
7.B 因为2bcs A=2c-a,
所以2b·b2+c2-a22bc=2c-a,
化简得a2+c2-b2=ac,
则cs B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,所以B=π3,
由S=12acsin B=3,得ac=4,
又a+c=4,所以a=c=2,
则△ABC为等边三角形,
所以△ABC的周长为6.
8.A ∵|BA-BC|=|CA|=3,△ABC的外接圆直径是924,
∴3sinB=924,
∴sin B=223.
∵|BA|·|BC|=6,
∴S△ABC=12|BA||BC|sin B=12×6×223=22.
9.解析 (1)由余弦定理和扩充的正弦定理可得,a·a2+b2-c22ab=3c·b2+c2-a22bc,
∴2a2-2c2=b2,
又a2-c2=2b,
∴b2=4b,解得b=4或b=0(舍去),即b=4.
(2)∵a=6,b=4,∴36-c2=8,∴c=27,
∴cs C=a2+b2-c22ab=36+16-282×6×4=12,
∵C∈(0,π),∴sin C=32,
∴S△ABC=12absin C=12×6×4×32=63.
10.答案 3,132
解析 由已知及扩充的正弦定理得b+c=2a=4,
由余弦定理得b2=AD2+CD2-2AD·CD·cs∠ADC,c2=AD2+BD2-2AD·BDcs∠ADB,
又cs∠ADB=-cs∠ADC,BD=CD=12a,
所以b2+c2=2AD2+12a2,
所以AD=b2+c2-12a22
=(b+c)2-2bc-22=7-bc,
因为b+c=4,所以c=4-b,
因为△ABC是锐角三角形,
所以b2+c2>a2,b2+a2>c2,a2+c2>b2,所以b2+(4-b)2>4,b2+4>(4-b)2,4+(4-b)2>b2,
解得32所以bc=b(4-b)=4b-b2=-(b-2)2+4∈154,4,
所以3≤AD<132.
11.解析 (1)由a(sin A+4sin B)=8sin A,得a(a+4b)=8a,即a+4b=8.
因为b=1,所以a=4.
由4sinπ6=1sinB,得sin B=18.
(2)因为a+4b=8≥24ab=4ab,
所以ab≤4,当且仅当a=4,b=1时,等号成立.
因为△ABC的面积S=12absin C≤12×4×sin π3=3,
所以当a=4,b=1时,△ABC的面积取得最大值,
此时c2=42+12-2×4×1×cs π3=13,解得c=13(负值舍去),
所以△ABC的周长为5+13.