湘教版（2019）必修 第二册1.7 平面向量的应用举例课后练习题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册1.7 平面向量的应用举例课后练习题，共24页。试卷主要包含了7平面向量的应用举例同步练习，0分），25NB，【答案】D，【答案】A，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
1.7平面向量的应用举例同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知向量表示“向东航行3km”，向量表示“向南航行3km，则表示（　　）
A. 向东南航行6km B. 向东南航行km
C. 向东北航行km D. 向东北航行6km
2. 在中，向量与满足，且​​​​​​​，则为（    ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形
3. 在中，设，则动点M的轨迹必通过的（     ）
A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心
4. 已知两个力＝(1，2)，＝(-2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则​​​​​​​＝
A. (1，-5) B. (-1，5) C. (5，-1) D. (-5，1)
5. 若两个非零向量满足,则向量与的夹角为(    )
A. B. C. D.
6. 已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，设，则   
A.
B.
C.  ​​​​​​​
D.

7. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度g取9.8m/s2，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（　　）
A. 2.25N B. 2.45N C. 2.5N D. 2.75N
8. 在ABC中,设-=2,那么动点M的轨迹必通过ABC的（    ）
A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心
9. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作，则
A. B. C. D.
10. 已知直线x+y-k＝0(k＞0)与圆x2+y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（     ）
A. B. C. D.
11. 设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
12. 如图，半圆的直径，O为圆心，C为半圆上不同于的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 
A. 2
B. 0
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 如图所示，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则          ，          ．


14. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为          ，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为          ​​​​​​​．
15. 已知O为△ABC角平分线AM上一点，AB＝3，AC＝4，且OA＝OC，则          ；          ．



16. 如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|=80N，则G的大小为          ，F2的大小为____          _ .


17. 一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，则船本身的速度大小为          ，船航行的方向为          .
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
18. 一艘轮船由海平面上A地向北偏西的方向行驶100海里到达B地,然后向C地行驶.设C地恰好在A地的南偏西方向上,并且A,C两地相距200海里,求轮船从B地到C地的距离.







19. 在△ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，已知a＝3，．
（1）若，求sinA；
（2）若AB边上的中线长为，求△ABC的面积．







20. 如图所示，在中，点在边上，且，，．
​​​​​​​
(1)若，求BC的值；
(2)若边上的中线AE=2，求AC的值．







21. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，，．

（1）若，求BC的值；
（2）若BC边上的中线AE＝2，求AC的值．







22. 如图所示，在中，点在边上，且，，．
​​​​​​​
若，求的值；
若边上的中线，求的值．







23. 如图在矩形中，是的中点，是线段上的点，。

（1）若是的中点，求证：与共线；
（2）在线段上是否存在点，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出点的位置；
（3）若动点在矩形上运动，试求的最大值及取得最大值时点的位置。







答案和解析
1.【答案】B

【解析】
【分析】
本题充分体现向量的大小和方向两个元素，属于基础题.
​根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向，大小可以用勾股定理求出.
【解答】
解：∵向量表示“向东航行3km”，向量表示“向南航行3km”，
由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行km.
故选B.  
2.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积的几何应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于中档题.
利用单位向量的定义及向量的数量积为0时两向量垂直，得到等腰三角形，利用向量的数量积求出三角形边的夹角，得到等腰直角三角形.​​​
【解答】
解：因为​​​​​​​，
所以∠BAC的平分线与BC垂直，
所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC．
又因为，
所以∠ABC=45°，
所以三角形ABC是等腰直角三角形．
故选D．
  
3.【答案】D

【解析】
【分析】
本题主要考查向量的几何应用，熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义是解题的关键.属于中档题.
用向量的运算法则、数量积与垂直的关系判断出，根据三角形的外心定义即可得出.
【解答】
解：如图所示：
​​​​​​​
设线段BC的中点为D，则．
∵=2，
​​​​​​​∴=，
∴=0，即
∴，∴MD⊥BC且平分BC．
因此动点M的轨迹必通过△ABC的外心．
故选D.  
4.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查向量在物理中的应用，属于基础题.
为使物体平衡,即合外力为零,即3个向量相加等于零向量.
【解答】
​解：由物理知识知++​​​​​​​＝，
故=－(+)＝（1，-5）.
​故选A.
  
5.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查平面向量的相关知识,考查数形结合思想, 属于中档题．
先求出，画出图形，结合向量的几何意义求解即可.
【解答】

解：因为，
所以平方得
所以，即，
由题意作图如上，设,
故向量，
因为,
结合向量的几何意义可知，
故向量与的夹角为的夹角，
故为，
故选D.
  
6.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加减运算,属于基础题.
由加减运算的法则即可求解.
【解答】
解: 设 AD与 BE交点为 F，

则＝ ，＝ ，
所以＝＋＝＋，
所以＝2＝＋.
故选B.  
7.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了平面向量在物理中的应用问题．
根据8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，列方程求出拉力的大小．
【解答】
解：由题意知，8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，
设每根绳子的拉力为T，则8Tcos60°=1×9.8，
解得：T=2.45N
故选：B．
  
8.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查向量的几何应用，熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义是解题的关键,属于中档题.
用向量的运算法则、数量积与垂直的关系判断出，根据三角形的外心定义即可得出.
【解答】
解：如图所示：
​​​​​​​
设线段BC的中点为D，则．
∵=2，
​​​​​​​∴=，
∴=0，即
∴，∴MD⊥BC且平分BC．
因此动点M的轨迹必通过△ABC的外心．
故选B.  
9.【答案】D

【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的几何运用，向量的坐标运算，直线方程的运用，考查了分析能力和运用能力，属于中档题.
以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，得到相应点的坐标，求出直线BD与直线AE的方程，两直线联立求出点E的坐标，进而得到向量的坐标，然后运用坐标运算求解即可.
【解答】
解：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
则A（0，1），B（0，0），C（2，0），D（2，1），
易知直线BD的方程为y＝，
由AE⊥BD，则直线AE的方程为y-1＝，即y＝+1，
由，解得，即E，
所以，，
所以，
故选D.  
10.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题,
利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．
【解答】
解：设AB中点为D，则OD⊥AB
∵，
∴
∴
∵
∴
∵直线x+y-k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，
∴
∴4＞
∴4＞
∵k＞0，∴
故选A．  
11.【答案】D

【解析】解：∵，
∴=λ（+）．
又∵•（+）=-||+||=0
∴与λ（+）垂直，
即⊥，
∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心
故选：D．
可先根据数量积为零得出与λ（+）垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．
本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，解答关键是得出与λ（+）垂直，属于中档题．

12.【答案】D

【解析】
【分析】
​​​​​​​本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，基本不等式，根据O为AB的中点，将化为，进而转化为一个基本不等式问题是解答本题的关键．
根据O为AB的中点，我们易得=，又由OPC三点共线，故为定值，根据基本不等式，我们易得的最小值．
【解答】
解：因为O为AB的中点，
所以，
从而则==；
又为定值，
因为，
所以，
（当且仅当），即P为OC的中点时，，
则，
所以取得最小值是-2，
故选：D．  
13.【答案】2
​​​​​​​


【解析】
【分析】
本题主要考查了向量在几何中的应用,以及向量的线性运算,同时考查了中位线的计算,属于基础题.
利用向量的加法法则化简=,再求其模即可;根据点E,F分别为棱AB,AD的中点,则=,然后根据向量的减法法则化简-,求出其模即可.
【解答】
解：+=,
|+|=||=2;
由于点E,F分别为棱AB,AD的中点,
则=,
|-|=|-|,取BD的中点H,
则|-|=|-|=|-|=||=，
故答案为:2,.  
14.【答案】 
​​​​​​​


【解析】
【分析】
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以B为原点，以BC为x轴建立直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】
解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，

∵∠B=60°，AB=3，
∴A（，），
∵BC=6，
∴C（6，0），
∵=λ，
∴AD∥BC，
设D（x0，），
∴=（x0-，0），=（-，-），
∴•=-（x0-）+0=-，解得x0=，
∴D（，），
∴=（1，0），=（6，0），
∴=，
∴λ=，
∵||=1，
设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，
∴=（x-，-），=（x-，-），
∴•=（x-）（x-）+=x2-4x+=（x-2）2+，当x=2时取得最小值，最小值为，
故答案为：； ．
  
15.【答案】2
​​​​​​​


【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的几何意义,向量的加减运算,属于中档题.
作OPAB,OQAC,由条件得到=(-)=||||-||||
,再求值即可;设=+,求出k,再由=+,求值即可.
【解答】
解：如图,作OPAB,OQAC,

由AM是角平分线,可得OP=OQ,AP=AQ,
由OA=OC,可知Q为AC的中点,即AP=AQ=2,
=(-)=-
=||||-||||=24-23=2
设=+,则+=1,
解得k=,
故=+,
=+
=8+6=
故=.
故答案为:2;.  
16.【答案】160N 
​​​​​​​


【解析】解：根据题意，，如图所示：
∠CAO=90°，∠AOC=30°，AC=80，
∴，
∴G的大小为160N，F2的大小为80N．
故答案为：．
根据力的合成及向量加法的平行四边形法则即可画出图形，结合条件及图形即可求出G和F2的大小．
本题考查了力的合成，向量加法的平行四边形法则，直角三角形的边角关系，考查了计算能力，属于基础题．

17.【答案】km/h
北偏西60°


【解析】
【分析】
本题考查了向量在物理中的应用，向量加减混合运算以及几何意义，考查数形结合思想，属于基础题．
​根据题意设水的速度为，风的速度为，船的实际航行速度为，由向量的物理运用即可求得结果.
【解答】
解：如图，

设水的速度为，风的速度为，，
易求得 的方向是北偏东，的大小是，
设船的实际航行速度为，方向由南向北，大小为，
船本身的速度为，则，即，
由数形结合知，的方向是北偏西，大小是，
故答案为km/h；北偏西60°.  
18.【答案】解：如图所示,以A地为原点,建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(-100,100),即B(-50,50),
C(-200,-200),
即C(-100,-100),所以=(-50,-150),
所以||==100海里,所以轮船从B地到C地的距离为100海里.



【解析】本题考查了向量的实际应用.，画出草图是关键．
作出方位示意图，求出点的坐标，计算向量模长即可得出答案．

19.【答案】 解：（1）因为，
由正弦定理，得，
所以．
所以．
又因为sinA≠0，
所以．
因为C∈（0，π），
所以．
又因为，
所以，
所以．
（2）设AB边上的中线为CD，则，
所以，
即37=b2+9+3b，b2+3b-28=0．
解得b=4或b=-7（舍去）．
所以．

【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，平面向量的运算以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
​​​​​​​（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理，可得．结合范围C∈（0，π），可求．由正弦定理可求sinA的值．
（2）设AB边上的中线为CD，则，两边平方，由平面向量的运算可求b，根据三角形的面积公式即可求解．

20.【答案】解：（1）由题意得，
在△ABC中，由正弦定理得，
即，所以BC＝4．
（2）由（1）知．
因为∠BAC为钝角，
所以．
因为，所以．
又AE＝2，，
所以，
即，
所以，
解得或（舍去）．

【解析】本题主要考查的是正弦定理，同角三角函数的关系，向量的几何运算的有关知识.
（1）由题意得，然后利用正弦定理进行求解即可；
（2）由（1）知．进而求出，根据得到，然后得到​​​​​​​，从而解出此题.

21.【答案】解：（1）由题意得，
在△ABC中，由正弦定理得，
即，所以BC＝4．
（2）由（1）知．
因为∠BAC为钝角，
所以．
因为，所以．
又AE＝2，，
所以，
即，
所以，
解得或（舍去）．

【解析】本题主要考查的是正弦定理，同角三角函数的关系，向量的几何运算的有关知识.
（1）由题意得，然后利用正弦定理进行求解即可；
（2）由（1）知．进而求出，根据得到，然后得到​​​​​​​，从而解出此题.

22.【答案】解：（1）由题意得，
在△ABC中，由正弦定理得，
即，所以BC＝4．
（2）由（1）知．
因为∠BAC为钝角，
所以．
因为，所以．
又AE＝2，，
所以，
即，
所以，
解得或（舍去）．

【解析】本题主要考查的是正弦定理，同角三角函数的关系，向量的几何运算的有关知识.
（1）由题意得，然后利用正弦定理进行求解即可；
（2）由（1）知．进而求出，根据得到，然后得到​​​​​​​，从而解出此题.

23.【答案】（1）证明：∵，，
∴，
 ∴与共线.
（2）解：在线段AB上存在点M，使与垂直.
理由：设，，，
∵与垂直，∴=0.

即，
∵，，，∴.
∴存在满足条件的点M，即AM=，使得与垂直.
此时点M在线段AB的四等分点，最靠近点B的位置.
（3）解：

①当P在线段AB上时，设，，则：=4k，
 ∴的最大值为4，此时P在B点处；
②当P在线段BC上（不含端点）时，设，∴=4，
此时P在线段BC上（端点除外）；
③当P在线段CD上时，设，，=4（1-k），
∴的最大值为4 ，此时P在C点处；
④当P在线段AD上时，.
综上所述，当P在线段BC上时，的最大值是4.

【解析】本题考查了向量共线的判定，向量垂直的判定，向量的数量积，向量的几何运用，属于拔高题.
（1）解答本题的关键是由向量的几何运用将和用和表示出来，可发现=-，由此即可证得与共线；
（2）解答本题的关键是将、用和表示出来，由向量垂直的条件可知：=0，由此即可求得点M的位置；
（3）解答本题的关键是将点P的位置进行分情况讨论，再分别求出的最大值，最后得出的最大值及点P的位置即可.