2020-2021学年4.2 平面练习题
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4.2平面同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 下列说法正确的是
A. 两个平面重叠起来比一个平面厚 B. 三点确定一个平面
C. 一条直线和一点确定一个平面 D. 两条相交直线确定一个平面
- 两两相交的三条直线可以确定的平面个数为
A. B. C. D. 或
- 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格工人师傅运用的数学原理是
A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面
- 如图所示的正方体中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是
A. B.
C. D.
- 两两相交的三条直线可以确定的平面个数为
A. B. C. D. 或
- 若用，表示点，用表示直线，表示平面，则下列叙述中正确的是
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
- 下列命题一定正确的是
A. 三点确定一个平面 B. 依次首尾相接的四条线段必共面
C. 直线与直线外一点确定一个平面 D. 两条直线确定一个平面
- 若用，表示点，用表示直线，表示平面，则下列叙述中正确的是
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
- 下面是四个命题的叙述其中，表示点，表示直线，表示平面，其中叙述方式和推理都正确的是
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ，
- 下面四个说法其中表示点，表示直线，表示平面：
，
其中表述方式和推理都正确的说法的序号是
A. B. C. D.
- 下列说法正确的是
A. 任意三点确定一个平面
B. 梯形一定是平面图形
C. 平面和有不同在一条直线上的三个交点
D. 一条直线和一个点确定一个平面
- 下列说法错误的是
A. 三个点确定一个平面
B. 两条平行直线确定一个平面
C. 两条相交直线确定一个平面
D. 一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
- 三点确定一个平面的条件是 ；共点的四条直线最多可以确定 个平面；互不相交的三条直线可以确定 个平面．
- 如图，，，，，为不共面的四点，，，，分别在线段上
如果，那么点在直线 上；
如果，那么点在直线 上
- 如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则
当，满足条件 时，四边形为菱形；
当，满足条件 时，四边形为正方形．
- 分别在两个平行平面的两个三角形．填“相似”“全等”
若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有 关系；
若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有 关系．
- 正方体的棱长为，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 ；以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 如图，在正方体中，为的中点．
在图中作出平面和底面的交线，并说明理由；
平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比．
- 已知：，，，，如图所示．求证：直线，，共面．
- 如图所示，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．
|
- 在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．
|
- 已知：，，，，如图所示．求证：直线，，共面．
- 画出满足下列条件的图形其中，为平面，，，为直线：
，，，，，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本概念以及性质，属于基础题．
根据平面的概念与性质逐项判断即得．
【解答】
解：平面没有厚度，故选项A错误；
B.不在一条直线上的三点确定一个平面，故选项B错误；
C.一条直线以及一个不在该直线上的点确定一个平面，故选项C错误；
D.两条相交直线确定一个平面，故选项D正确．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面的基本性质及推论，熟练掌握平面的基本性质及推论是解题的关键．
利用平面的基本性质及推论即可求出．
【解答】
解：由平面的基本性质及推论可知：两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为或．
，故直线与确定一个平面，若在平面内，则直线、、确定一个平面；
，故直线与确定一个平面，若不在平面内，则直线、、确定三个平面；如图．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．
根据两条相交直线确定一个平面，由此可得结论．
【解答】
解：由题意，分析可知，工人师傅运用的数学原理是：两条相交直线确定一个平面．
故选A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是平面的基本性质，属于基础题．
结合 判断，结合正方体的特征判断，，，即可得解．
【解答】
解：图形中，连接，，
则，因为，所以 ，
根据推论可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形A正确．
选项B、、中若四点共面，与正方体矛盾．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面的基本性质及推论，熟练掌握平面的基本性质及推论是解题的关键．
利用平面的基本性质及推论即可求出．
【解答】
解：由平面的基本性质及推论可知：两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为或．
，故直线与确定一个平面，若在平面内，则直线、、确定一个平面；
，故直线与确定一个平面，若不在平面内，则直线、、确定三个平面；如图．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点，线，面之间的关系和符号表示，考查平面的基本性质，题目基础．
立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．
【解答】
解：点与面的关系用符号，而不是，所以答案A错误；
直线与平面的关系用表示，则表示错误，所以答案B错误；
点不在直线上，但只要，都在平面内，也存在，答案C错误；
，，则，所以答案D正确．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了确定平面的条件与应用问题，属于基础题．
根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于，不在同一直线上的三点确定一个平面，A错误；
对于，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，B错误；
对于，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；
对于，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，D错误．
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点，线，面之间的关系和符号表示，考查平面的基本性质，题目基础．
立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．
【解答】
解：点与面的关系用符号，而不是，所以答案A错误；
直线与平面的关系用表示，则表示错误，所以答案B错误；
点不在直线上，但只要，都在平面内，也存在，答案C错误；
，，则，所以答案D正确．
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面的基本性质及推论分析：
点在平面上，用“”表示，不能用“”表示；在内，用“”表示，不能用“”表示；由，，得或；由，，知．
【解答】
解：点在平面上，用“”表示，不能用“”表示，故A不正确；
在内，用“”表示，不能用“”表示，故B不正确；
由，，知，故C正确
，或，故D不正确．
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点、线、面的位置关系的符号表示，属于基础题．
根据所给的条件对所给的选项逐个分析即可求解此题．
【解答】
解：错，应写为
错，应写为
错，推理错误，有可能
推理与表述都正确，
故选B．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质以及应用，属于基础题．
利用平面的基本性质，结合题目特点逐项判断即可判断得结果．
【解答】
解：任意不共线三点确定一个平面，故A不正确；
B.梯形一定是平面图形，故B正确；
C.平面和没有不同在一条直线上的三个交点，故C不正确；
D.一条直线和直线外一个点确定一个平面，故D不正确
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的概念与性质，属于拔高题．
根据平面的概念与性质，逐项进行判断即可．
【解答】
解：不共线的三点确定一个平面，项错误；
由平面的基本性质，，，显然正确．
故选A．
13.【答案】三点不共线
，，
【解析】
【分析】
本题考查平面的性质，由平面的公理即推论进行判断，属容易题．
【解答】
解：由公理知，不共线的三点确定一个平面，故应填三点不共线；
共点的四条直线最多可以确定的平面为，
互不相交的三条直线可以确定的平面：
当三条直线两两相交时，确定个平面，
当三条直线交于一点时，确定个平面，
当三条直线互为异面直线时，不能确定平面，故为个．
故答案为三点不共线 ；；，， ．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面的基本性质，属于基础题．
由平面，平面和平面平面即可判断的位置；
由平面，平面和平面平面即可判断的位置．
【解答】
解：若，
那么点平面，平面，
而平面平面，
．
若，
则平面，平面，
而平面平面，
．
15.【答案】
且
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：菱形的性质和判定，正方形的判定和性质，主要考查学生的转换能力，属于基础题．
直接利用三角形中位线定理的应用和菱形的性质判定结果；
直接利用正方形的判定和性质的应用及三角形中位线定理的应用判定结果．
【解答】
解：因为四边形 为菱形，所以 ，根据三角形中位线定理，需满足．
因为四边形 为正方形，所以 且 ，
因为 ，，且 ，，所以需满足 且 ．
故答案为 ；且
16.【答案】相似
全等
【解析】
【分析】
本题考查平行投影及平行公理问题，属于基础题结合三角形相似和全等的要求判断即可。
【解答】
解：由题得对应顶点连线共点得两三角形相似；
对应顶点连线互相平行得三角形全等．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方体的截面面积计算及球面与平面的交线的长，涉及平面的基本性质、扇形的弧长计算，属于中档题．
连接，易知，则平面就是平面截正方体所得的截面，求等腰梯形的面积得第一空答案；连接交于，取为的中点，易证平面，为两面交线所在圆的圆心，，球面的半径为，球面与平面交线所在的圆的半径为，即，，进而根据弧长公式求得结果．
【解答】
解：，为中点，，连接，易知，，
平面为平面截正方体所得的截面，给等腰梯形的高为，
所以截面积为；
连接交于，取为的中点，易证平面，为两面交线所在圆的圆心，
，球面的半径为，
球面与平面交线所在的圆的半径为，即，
，
以为球心，为半径的球面与对角面的交线所在圆对应的扇形中心角为，
故交线长为．
故答案为：
18.【答案】解：Ⅰ在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，
，平面，则平面，
，平面，平面E.
平面平面．
Ⅱ设，连接，
由面面平行的性质可得，
由为 的中点，得为的中点，
平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台．
设正方体 的棱长为．
．
另一部分几何体的体积为．
两部分的体积比为：．
【解析】Ⅰ在正方形中，直线与直线相交，设，连接，可证平面且平面，得到平面平面；
Ⅱ设，连接，证明，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台设正方体 的棱长为求出棱台的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案．
本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
19.【答案】证明：因为，所以与可以确定平面推论．
因为，所以，
又，
所以公理．
同理，，，
所以，，在同一平面内，即它们共面．
【解析】本题考查空间中直线的位置关系，考查推论直线与直线外一点可确定平面的应用，是基础题．
依题意，由，与可以确定平面，证明，，均在平面即可．
20.【答案】证明：如图，连接，，则，因为，
所以四边形为平行四边形，
又，平面，则平面，
因为平面平面，所以．
即、、三点共线．
【解析】本题主要考查平面基本原理的应用，是高考中常见的题型，属于中档题．
利用空间几何关系及公理求证即可．
21.【答案】证明 如图所示，连接，．
，分别是，的中点，
，且．
，
，且．
，且．
与相交，设交点为．
平面，平面．
同理平面．
又平面平面，
．
直线，，相交于一点．
【解析】略
22.【答案】证明：因为，所以与可以确定平面推论．
因为，所以，
又，
所以公理．
同理，，，
所以，，在同一平面内，即它们共面．
【解析】本题考查空间中直线的位置关系，考查推论直线与直线外一点可确定平面的应用，是基础题．
依题意，由，与可以确定平面，证明，，均在平面即可．
23.【答案】解：用平行四边形表示平面，
先画有公共边 的两个平行四边形，
在两个平面内分别标记，，
表示这两个平行四边形表示的平面分别是平面，平面，且满足 ，
在平面内画一个与平行的线段，标记为，表示 ，
注意要完全画在内，不可以画到平行四边形外面，表示，
在上画上一个点，标记为，表示，
在上取一点，在平面内画一条过点的线段，标记为，表示，，
注意不要画到表示的平行四边形外面．
如图所示，完成画图．
【解析】本题主要考查平面，直线和点的画法及表示，把几何元素的符号语言转化为图形语言，属于基础题．
先画有公共边 的两个平行四边形，表示平面，，再分别画出所元素，即可完成画图．
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