湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.6 解三角形随堂练习题

绝密★启用前

1.6解三角形同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 中，角，，所对应的分别为，，，且，若，则的面积的最大值是

A.  B.  C.  D.

2. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为

A.  B.  C.  D.

3. 在中，内角，，的对边分别为，，，其中为钝角，且满足，，若点与点在的两侧，且，，，四点共圆，则四边形面积的最大值为

A.  B.  C.  D.

4. 的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是  

A.  B.  C.  D.

5. 在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

6. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知且，，则的面积的取值范围   

A.  B.
C.  D.

7. 在中，，，为线段上的动点，且，则的最小值为  

A.  B.  C.  D.

8. 在中内角，，所对的边分别为，，，，，为的面积，则的最大值为

A.  B.  C.  D.

9. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 已知点在的边上，，，且的面积为，则   

A.
B.
C.
D.

11. 中，角，，所对应的分别为，，，且，若，则的面积的最大值是

A.  B.  C.  D.

12. 在中，内角、、所对的边分别为，，，已知，，且，则

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 的内角，，的对边分别为，，，角的平分线交于点．，，，则      ，的面积为      ．
14. 某学校高一同学参加社会实践活动，应用所学知识测量一个四边形公园的面积，如图所示，测量得公园的四边边长分别为，，，，则公园的面积为          ，当地政府规划建一条圆形的公路，使得整个公园都在圆形公路的里面，则这条公路的总长度的最小值为          备注：把公路看成一条曲线，公路宽度不计．
15. 已知，，，为的角平分线，则
    面积的取值范围为          ．
    的最小值为          ．
16. 甲船在处观察乙船，乙船在它的北偏东方向的处，两船相距，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿          方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了          ．
17. 在中，若，，则的最小值为          ，面积的最大值为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，路的宽度忽略不计，设，

当时，求小路的长度；

当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．






 

19. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，路的宽度忽略不计，设，

当时，求小路的长度；

当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．






 

20. 为了美化环境，某公园欲将一项空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，路的宽度忽略不计，设，

当时，求小路的长度；

当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．






 

21. 已知，，在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题。

在中，角，，的对边分别为，且满足

求角的大小；

已知_______，_______，若存在，求的面积；若不存在，说明理由。






 

22. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，路的宽度忽略不计，设，

当时，求小路的长度；

当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．






 

23. 如图，有一直径为米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的倍，但种植甲水果需要有辅助光照半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是，点，在直径上，且．
    

若，求的长

设，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用正弦定理可得，由余弦定理可得，结合范围，可求的值；再利用余弦定理，基本不等式可求，当且仅当时，取等号，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由正弦定理以及得：
，
整理得，
则，，
求得，
因为，所以由余弦定理得，
因为，
所以，解得，
当且且仅当时取等号，
所以，
即面积的最大值为．
故选B．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正余弦定理，三角形的面积公式，难度适中．
先由正弦定理求得，再结合余弦定理求出，，最后由三角形面积公式求得答案．
【解答】
解：因为，则得，
，即，
解得，
．
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，属于中档题．
通过正余弦定理以及面积公式，得，，结合不等式可求最值．
【解答】解：由，得，
，
由正弦定理得，，
又为钝角，，
又，，，四点共圆，，
在中，由余弦定理得
，即．
同理，，即，
， ．
四边形面积的最大值为．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，会正确应用正弦定理，余弦定理解题是关键．
可先根据已知得到，再根据正弦定理可得，再根据余弦定理得到，进而得到三角形面积的最大值．
【解答】
解：，
，可得：，
由正弦定理可得：，
，
，
，
，
由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立，
．
故选．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形形状的判定，考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题．
由已知结合余弦定理求得，再由三角形面积公式及已知条件得到或，进一步得到三角形为直角三角形．
【解答】
解：由，且，得
，则．
，．
又，
，得或．
当时，代入，得；
当时，代入，得．
是直角三角形，不是等腰三角形．
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】【解析】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，即可求解的值，由题设及三角形的面积公式，正弦定理得，可求范围，利用正切函数的性质可得，求得范围，即可得解面积的取值范围．
【解答】
解：，
，
由正弦定理可得：，即，
根据余弦定理，
又因为为三角形内角，
可得，
，
由题设知的面积，
由正弦定理得，
为锐角三角形，
，，
由知，
，
，
，
，
面积的取值范围是
故选：．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的应用，三点共线，以及利用基本不等式求最值，属于综合题，难度较大．
先利用已知条件解出，，的大小，由平面向量共线定理得到与的关系等式，再由基本不等式解题．
【解答】
解：，，
因为，由正弦定理可得：，
再由余弦定理可得：，
所以，三角形为直角三角形，角为直角，
因为，
由三角形面积公式，所以，
由余弦定理可得化简得：，
所以可得，，
，因为，，三点共线，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查同角关系式及正弦定理余弦定理，同时考查面面积公式及两角和与差的三角函数，同时考查余弦函数的性质，由已知结合余弦定理得，然后由面积公式及正弦定理得出，进而利用余弦函数的性质即可求解．

【解答】

解： 由余弦定理有，

所以，

又，

所以由正弦定理有，

所以，，

所以，

即，

当时取等号，

所以的最大值为．

故选B．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．
先根据三角形面积公式求得的值，利用正弦定理及题设中，可得，代入到余弦定理中求得．

【解答】

解：由已知可得：，解得：，
又，由正弦定理可得：，
由余弦定理：，
解得：，
．
故选D．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题，先由余弦定理求得，可得为等边三角形，即，再利用面积，得，则，作交于，求出相应边，再在中，利用正弦定理求出即可．
【解答】
解：在的边上，，，，
设，则，
由余弦定理得，
，
则，
为等边三角形，
，
由，
得，则，
作交于，

在等边中，，，则，
在中，，
在中，由正弦定理得，
，
故选D．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正余弦定理解三角形，以及基本不等式求最值，难度一般．
由正弦定理以及已知条件求出，由余弦定理以及基本不等式得出，从而求出的面积的最大值是．
【解答】
解：由正弦定理以及得：
，
整理得，
则，，
求得，
因为，所以由余弦定理得，
因为，所以，解得，
当且且仅当时取等号，
则的面积的最大值是．
故选B．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，属于中档题．
由已知结合余弦定理可求，进而可求，由三角形的面积公式可求，然后结合余弦定理可求，根据正弦定理即可求解．
【解答】
解：因为：，
所以，即，
由正弦定理得：，即，
，
，即，
，
，
，
，
．
，
，
 ，可得，
，即，

 ．
故选C．  

13.【答案】

【解析】
解：；
由正弦定理得：
又因为，，为三角形内角；
所以：，，
可得


；
根据余弦定理：，
即，
由正弦定理可知：，
，
同理，，则，
所以，
所以，
解得或舍去，
．
即．
故答案为：，．
先根据正弦定理得到，再结合三角形内角和即可求出，根据余弦定理得到，的关系，再根据正弦定理表示出和，即可列方程求出，即可求出面积．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，属于中档题．
在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，则，根据三角形面积公式即可求解设的外接圆的半径为，由正弦定理得即可求解．

【解答】

解：连接，在中，
由余弦定理得，，
得，
在中，由余弦定理得，，
则，
则
．
故公园的面积为．
设的外接圆的半径为，由，，可知四点共圆，
由正弦定理得，，
此时圆的周长为，
则这条公路的总长度的最小值为．
故答案为 ．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
(ⅰ)由三角形的余弦定理和面积公式，结合基本不等式可得所求范围；
(ⅱ)由，结合三角形的面积公式，可得，再由基本不等式计算可得所求最小值．

【解答】

解：(ⅰ)可设的内角，，所对的边分别为，，，
可得，
即有，当且仅当取得等号，
则，
所以面积的取值范围为；
(ⅱ)由，
可得，
化为，
即为，
所以，
当且仅当时，取得等号，
则的最小值为．
故答案为．

16.【答案】北偏东  

【解析】

【分析】
此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
根据题意画出图形，表示出与，在三角形中，利用正弦定理列出关系式，即可求出的度数，利用余弦定理即可得到的长．
【解答】
解：如图所示，设到点甲船追上乙船，乙到地用的时间为，乙船速度为，

则，，，
由正弦定理知，
，
，，
甲行驶的方向是北偏东．
易得，

，

甲追上乙船时，甲行驶了 ．
故答案为北偏东；．  

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等，难度中等．
根据余弦定理及基本不等式可得，将化为可得，面积化为可得．

【解答】

解：因为，为三角形内角，
，
，，
由余弦定理得，
，
当且仅当时取等



，
当且仅当时取等，
的面积为，
当且仅当时取等．
故答案为：．

18.【答案】解：在中，，，．

由余弦定理得，，
所以．

因为，

所以．

由正弦定理得，即，
解得．

因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以且，

所以．

在中，由余弦定理得，

，

所以．

由得，，

，
此时，，且．

当时，四边形的面积最大，即，
此时，，

所以，即．

答：当时，小路的长度为百米；
草坪的面积最大时，小路的长度为百米．

【解析】

【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用．
由余弦定理求出，然后在三角形中，由余弦定理求解即可
利用求解即可．  

19.【答案】解：在中，，，．

由余弦定理得，，
所以．

因为，

所以．

由正弦定理得，即，
解得．

因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以且，

所以．

在中，由余弦定理得，

，

所以．

由得，，

，
此时，，且．

当时，四边形的面积最大，即，
此时，，

所以，即．

答：当时，小路的长度为百米；
草坪的面积最大时，小路的长度为百米．

【解析】

【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用．
由余弦定理求出，然后在三角形中，由余弦定理求解即可
利用求解即可．  

20.【答案】解：在中，，，．

由余弦定理得，，
所以．

因为，

所以．

由正弦定理得，即，
解得．

因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以且，

所以．

在中，由余弦定理得，

，

所以．

由得，，

，
此时，，且．

当时，四边形的面积最大，即，
此时，，

所以，即．

答：当时，小路的长度为百米；
草坪的面积最大时，小路的长度为百米．

【解析】

【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用．
由余弦定理求出，然后在三角形中，由余弦定理求解即可
利用求解即可．  

21.【答案】解：，
由正弦定理可得：，
即，
，
，
．
方案一：选择条件和，
由正弦定理，可得，
可得的面积．
方案二：选择条件和，
由余弦定理，可得，可得，
可得，的面积．
方案三：选择条件和，这样的三角形不存在，理由如下：
在三角形中，由，则由正弦定理，由可得，而，则，所以这样的三角形不存在．
 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求的值．
方案一：选择条件和，由正弦定理，可得，进而利用三角形的面积公式即可求解．
方案二：选择条件和，由余弦定理可求的值，根据三角形的面积公式即可求解．
方案三：选择条件和，由正弦定理，和可得，可求这样的三角形不存在．
 

22.【答案】解：在中，，，．

由余弦定理得，，
所以．

因为，

所以．

由正弦定理得，即，
解得．

因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以且，

所以．

在中，由余弦定理得，

，

所以．

由得，，

，
此时，，且．

当时，四边形的面积最大，即，
此时，，

所以，即．

答：当时，小路的长度为百米；
草坪的面积最大时，小路的长度为百米．

【解析】

【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用．
由余弦定理求出，然后在三角形中，由余弦定理求解即可
利用求解即可．  

23.【答案】解：已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形，
因为，，所以，，
在中由余弦定理，且，
所以，
解得或；
由题意，，．
在中，由正弦定理得，；
在中，由正弦定理得，，
该空地产生最大经济价值时，的面积最大，
，
，，
时，取最大值为，该空地产生最大经济价值．
 

【解析】本题考查解三角形的实际应用，正余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
利用余弦定理，即可求的长；
设，求出，，利用，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．