高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用导学案

(教师独具内容)

课程标准：1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．

教学重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题．

教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型.

【知识导学】

知识点一　　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义

(1)简谐运动的振幅就是A.

(2)简谐运动的周期T＝.

(3)简谐运动的频率f＝＝.

(4)ωx＋φ称为相位．

(5)x＝0时的相位φ称为初相．

知识点二　　　三角函数模型的应用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．

知识点三　　　建立函数模型的一般步骤

【新知拓展】

运用三角函数模型解决问题的几种类型

(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．

(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．

(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时，周期T＝，频率f＝.(　　)

(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期．(　　)

答案　(1)√　(2)×

2．做一做

(1)某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)

A．60  B．70  C．80  D．90

(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)

A．2π s  B．π s  C．0.5 s  D．1 s

(3)电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流I为________．

答案　(1)C　(2)D　(3) A

题型一  三角函数在物理中的应用

例1　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：

(1)开始时的电压；

(2)电压值重复出现一次的时间间隔；

(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．

[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.

(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.

(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次获得最大值．

金版点睛

三角函数在物理中的应用

三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．

　如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．

(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；

(2)求t＝5 s时，该物体的位置．

解　(1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为

x＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)，

则由振幅为3 cm，周期为3 s，可得A＝3，T＝＝3，

得ω＝.

又物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时，

∴当t＝0时，x＝3sinφ＝3，∴sinφ＝1.

∵0≤φ＜2π，∴φ＝，

从而所求的函数关系式是

x＝3sin＝3cost.

(2)令t＝5，得x＝3cos＝－1.5，

故t＝5 s时，该物体在O点左侧且距O点1.5 cm处．

题型二  三角函数模型的简单实际应用

例2　在美国波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝3sin＋12，其中t表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推．

(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？

(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？

[解]　(1)白昼时间最长的一天，即D(t)取得最大值的一天，此时t＝170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t＝353时，D(t)取得最小值，即12月20日白昼最短．

(2)D(t)>10.5，即3sin＋12>10.5，

所以sin>－，t∈[0,365]，

所以49<t<292,292－49＝243.

所以约有243天的白昼时间超过10.5小时．

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解三角函数应用问题的基本步骤

　某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图所示，且满足y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)．

(1)根据图中数据求函数解析式；

(2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？

解　(1)由图象可知ymax＝900，ymin＝700，

且A＋b＝ymax，－A＋b＝ymin，

所以A＝＝＝100，b＝＝800，

且T＝12＝，所以ω＝.

将(7,900)看作函数图象的第二个特殊点，得×7＋φ＝.所以φ＝－.

因此所求的函数解析式为y＝100sin＋800.

(2)由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，又＝＝6.

所以从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个高峰或一个低谷.

题型三  数据拟合问题

例3　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．

(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；

(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多长时间可供冲浪者进行活动？

[解]　(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.

又t＝0时，y＝1.5，

所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．

(2)因为y＞1时，才对冲浪爱好者开放，

所以y＝cost＋1＞1，cost＞0，

2kπ－＜t＜2kπ＋(k∈Z)，

即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．

又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，

所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.

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建立三角函数拟合模型的注意事项

(1)在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．

(2)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．

(3)在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．

　设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　)

A．y＝12＋3sint，t∈[0,24]

B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]

C．y＝12＋3sint，t∈[0,24]

D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]

答案　A

解析　对表中数据作近似处理，得下表：

可见k＝12，A＝3，且T＝12，所以ω＝.

又t＝3时，y＝15，代入选项检验得正确答案为A.

1．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是(　　)

A．A＝3，T＝，φ＝－   B．A＝1，T＝，φ＝

C．A＝1，T＝，φ＝－   D．A＝1，T＝，φ＝－

答案　C

解析　由图象，知A＝＝1，＝－＝，则T＝，ω＝＝＝.由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.令k＝0，得φ＝－.

2．动点A(x，y)在圆心为原点的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)

A．[0,1]   B．[1,7]

C．[7,12]   D．[0,1]和[7,12]

答案　D

解析　由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝＝.又当t＝0时，A的坐标为，∴此函数为y＝sin，t∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．

3．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

答案　C

解析　函数y＝－sinx的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.

4．如图所示是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．

答案　y＝2sin

解析　设函数解析式为y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，由图象可知T＝2×(0.5－0.1)＝，∴ω＝＝，∴×0.1＋φ＝.∴φ＝.∴函数的解析式为y＝2sin.

5．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：

(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(3)经过多长时间小球往复振动一次？

解　列表如下，

描点、连线，图象如图所示．

(1)将t＝0代入s＝4sin，得

s＝4sin＝2，

所以小球开始振动时的位移是2 cm.

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.

(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.