数学必修 第一册5.7 三角函数的应用导学案

这是一份数学必修 第一册5.7 三角函数的应用导学案，共7页。

在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数中的常数有关：
例1-1：音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，著名数学家傅里叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐音都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余为泛音.由乐音的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频的整数倍，称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数（基本音）构成乐音的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
知识点二：三角函数的简单应用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面发挥着十分重要的作用。
1.三角函数应用的步骤
2.三角函数常见的应用模型
（1）三角函数在物体简谐运动问题中的应用.
物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
（2）三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用.
物体在旋转，显然具有周期性，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
（3）三角函数在生活中的周期变化问题中的应用.
大海中的潮汐现象、生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.
例2-2：如图，单摆离开平衡位置O的位移（单位：cm）和时间（单位：s）的函数关系为，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为（ ）
2 s B. 1 s C. s D. s
答案：C
例2-3：有一个小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式是，函数图象如图所示，则函数的解析式为= .
答案：
解题方法指导
题型1：利用三角函数模型解决实际问题
例4：在一个港口，相邻考两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m，每天潮涨潮落时，该港口水的深度（单位：m）关于时间t（单位：h）的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到第一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
答案:A
例5：已知堂皇上挂着的小球做上下振动，它相对平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为：.
（1）求小球开始振动时的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
（3）经过多长时间小球往返振动一次；
（4）每秒内小球能往返振动多长次？
答案：（1）距离平衡位置cm处；
（2） s
（3） s
（4）次
变式训练1：已知电流（单位：A）与时间t（单位：s）的关系为（）.
若上图是该函数在一个周期内的图像，求该函数的解析式；
如果t在任意一段的之间内，电流都能取到最大值和最小值，那么的最小值是多少？
答案：（1）函数解析式为
（2）由题意得：
所以，即最小值为.
题型2：拟合法建立三角函数模型
例6：下表是某地一年中10天的白昼时间统计表：（时间精确到0.1小时）
（1）以日期在365天中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；
（2）使选用一个函数来近似描述一年中白昼时间与日期位置序号之间的函数关系；（注：①求出所选用的函数关系；②一年按365天 计算）
（3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
答案：（1）散点图如图所示：
（2）函数关系式为
（3），大约有121天白昼时间大于15.9小时.
易错提醒
易错点：对题意理解不清
例8：某地夏天一天的电量变化曲线近似满足函数，部分图象如图所示.
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出该函数的解析式.
答案：（1）由图可知：最大用量和最小量分别为50万千瓦时和30万千瓦时.
（2）函数解析式为
考向：三角函数模型的实际应用
例9：如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足.据此函数可知，这段时间水深（单位:m）的最大值为（ ）
5 B. 6 C. 8 D. 10
答案：C
基础巩固：
1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角与时间（单位：s）满足函数解析式，则当时，角的大小及单摆的频率是（ ）.
A. B. C. D.
2.在两个弹簧上各挂一个小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t（单位：s）时离开平衡位置的位移（单位：cm）和（单位：cm）分别由下列两式确定，则在时间，与的大小关系是（ ）
A.＞ B.＜ C.= D.不能确定
3.函数的振幅是 ，周期是 ，频率是 ，初相是 ，图象最高点的坐标是 .
4.电流强度（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是 A.
5.一根长为cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是.
（1）求小球摆动的周期和频率；
（2）已知，要使小球摆动的周期恰好是2 s，则线的长度应当是多少？
6.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数的图象.2018年1月下旬武汉地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.
（1）求出武汉地区该时段的温度函数的表达式；
（2）1月29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
能力训练：
7.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖的位置.若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时）开始走，点P的纵坐标与时间的函数解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
8.某城市一年中12个月的月平分气温（单位：℃）与月份的关系可以近似地用函数（）来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的月平均气温为 ℃.
9.如图表示相对于海平面的某海湾的水面高度（单位：米）在某天0~24时的变化情况，则水面高度关于时间t（单位：时）的函数关系是为 .
10.已知某海滨浴场的海浪高度是时间的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，可近似的看成函数
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）根据规定，当海浪高度大于1米时浴场才可对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内在8:00至20:00之间，有多长时间可供冲浪爱好者冲浪.
参考答案
A
C
6
4.5
5.（1）
（2）
6.（1）函数表达式
（2）当时，
所以届时学校后勤应该开空调.
C
20.8
10.（1）函数表达式为
（2）由
即
∵，故可另k的值分别为0,1,2,得或或.
故有6个小时可供冲浪爱好者冲浪.
振幅
振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率
，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
相位
初相
时的相位称为初相
日期
1月1日
2月18日
3月21日
4月27日
5月6日
6月21日
8月13日
9月20日
10月25日
12月21日
日期位置序号
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼时间y/时
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.5
1
0.5
1
1.5
1
0.5
0.99
1.5