人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案，共8页。

如图所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置．将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运动．从某一时刻开始，如果记t s后小球的位移为x cm，则由物理学知识可知x与t的关系可以写成
x＝Asin(ωt＋φ)的形式，其中A，ω，φ都是常数．
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成
i＝Imsin(ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．
显然，上述x与i都是t的函数．那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？
知识点 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
1.函数y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6)B．6π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6)
C．3π，3，－eq \f(π,6)D．6π，3，eq \f(π,6)
B [y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，振幅为eq \f(1,3)，初相为eq \f(π,6).]
2.函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的频率为________，相位为________，初相为________．
eq \f(1,4π) eq \f(1,2)x－eq \f(π,6) －eq \f(π,6) [频率为eq \f(\f(1,2),2π)＝eq \f(1,4π)，
相位为eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)，初相为－eq \f(π,6).]
类型1 三角函数模型在物理学中的应用
【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解] 列表如下：
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝eq \f(2π,ω)为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝eq \f(1,T)为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解] (1)当t＝0时，E＝110eq \r(2)(V)，即开始时的电压为110eq \r(2) V.
(2)T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220eq \r(2) V，当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300) s时第一次取得最大值．
类型2 三角函数模型的实际应用
【例2】 (对接教材P245例题)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
如何借助表格中的数据探寻与参数A，ω，b的相关量？解三角不等式的关键是什么？
[解] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝eq \f(π,6).又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为eq \f(1,2)，函数解析式为y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1＞1，cseq \f(π,6)t＞0,2kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(π,6)t＜2kπ＋eq \f(π,2)，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时期的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解] (1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋b＝14，,－A＋b＝－2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝8，,b＝6，))
易知eq \f(T,2)＝14－2，
所以T＝24，所以ω＝eq \f(π,12)，
易知8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＋6＝－2，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＝－1，
故eq \f(π,12)×2＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，
得φ＝－eq \f(2π,3)，
所以y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)x－\f(2π,3)))＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×9－\f(2π,3)))＋6
＝8sin eq \f(π,12)＋6<8sin eq \f(π,6)＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
类型3 数据拟合模型的应用
【例3】 下表所示的是某地2000～2019年的月平均气温(华氏度)．
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①eq \f(y,A)＝cs eq \f(πx,6)；②eq \f(y－46,A)＝cs eq \f(πx,6)；③eq \f(y－46,－A)＝cs eq \f(πx,6)；④eq \f(y－26,A)＝sin eq \f(πx,6).
[解] (1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．
(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知eq \f(T,2)＝7－1＝6，
∴T＝12.
(3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(4)∵x＝月份－1，
∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得eq \f(y,A)＝eq \f(26.0,25.8)>1≠cs eq \f(π,6)，
∴①不适合．
代入②，得eq \f(y－46,A)＝eq \f(26.0－46,25.8)<0≠cs eq \f(π,6)，
∴②不适合，同理，④不适合，
∴③最适合．
处理数据拟合和预测问题的步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图．
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．
y＝－4cs eq \f(5π,2)t [设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.8)＝eq \f(5π,2)，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－eq \f(π,2)，故y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，即y＝－4cs eq \f(5π,2)t.]
1．最大值为eq \f(1,2)，最小正周期为eq \f(2π,3)，初相为eq \f(π,6)的函数表达式是( )
A．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6))) B．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,6)))
C．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))D．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))
D [由题意可知，周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,3)，∴ω＝3.
∴y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))，故选D.]
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
C [由题意可知－3＋k＝2，∴k＝5，从而ymax＝3＋k＝3＋5＝8.故选C.]
3．(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
AD [由图可知eq \f(3,4)T＝0.6，∴T＝0.8.振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0.故选AD.]
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
eq \f(g,4π2) [由已知得eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，所以eq \r(\f(g,l))＝2π，eq \f(g,l)＝4π2，l＝eq \f(g,4π2).]
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
y＝－6sineq \f(π,6)x，x∈[0,24] [设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6).
当x＝9时，ymax＝6.
故eq \f(π,6)×9＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sineq \f(π,6)x，x∈[0,24]．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？
[提示] 在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．
2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
[提示] eq \x(画散点图)→eq \x(拟合曲线)→eq \x(求解曲线)
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)
2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
1．通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养．
2．借助实际问题求解，提升数学运算素养.
t
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
2t＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0