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人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案设计，共9页。
授课提示：对应学生用书第116页
[教材提炼]
知识点 科学试验、生活中的三角函数
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么可以考虑什么函数来描述？
知识梳理 简谐运动
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝eq \f(2π,ω)，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．
[自主检测]
1．函数y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6) B．6π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6)
C．3π，3，－eq \f(π,6) D．6π，3，eq \f(π,6)
答案：B
2．已知简谐运动f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝eq \f(π,6) B．T＝6，φ＝eq \f(π,3)
C．T＝6π，φ＝eq \f(π,6) D．T＝6π，φ＝eq \f(π,3)
答案：A
3．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的( )
A．频率为1.5 Hz
B．周期为1.5 s
C．周期为6 s
D．频率为6 Hz
答案：B
4．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s 的函数关系式为s＝6sin(2πt＋eq \f(π,6))，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
答案：1 s
授课提示：对应学生用书第117页
探究一 三角函数在物理中的应用
[例1] [教材P242拓展探究]
(1)已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
①小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
③经过多长时间小球往复振动一次？
(2)已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2))).
①如图是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
②如果t在任何一段eq \f(1,150)秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
[解析] (1)列表如下：
描点、连线，图象如图所示．
①将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，
得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，
所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.
②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
③因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
(2)①由题图可知A＝300.
设t1＝－eq \f(1,900)，t2＝eq \f(1,180)，则周期T＝2(t2－t1)＝
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,180)＋\f(1,900)))＝eq \f(1,75)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝150π.
又当t＝eq \f(1,180)时，I＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150π·\f(1,180)＋φ))＝0，
而|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).
故所求函数的解析式为I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150πt＋\f(π,6))).
②依题意，周期T≤eq \f(1,150)，即eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,150)(ω＞0)，
∴ω≥300π≈942.48.
又ω∈N*，故ω的最小正整数值为943.
三角函数解决物理问题的三个关键量
(1)物体运动的初始位置，即初相．
(2)完成一次运动需要的时间，即周期．
(3)离开平衡位置的最大位移，即振幅．
探究二 三角函数在生活中的应用
[例2] 估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝eq \f(k,2)sin eq \f(2π,365)(t－79)＋12，其中t(t∈Z)表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
(1)在波士顿，k＝6，试画出当0≤t≤365时函数的图象；
(2)在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．
[解析] (1)先用五点法作出f(t)＝3sin eq \f(2π,365)(t－79)的简图，由eq \f(2π,365)(t－79)＝0及eq \f(2π,365)(t－79)＝2π，得t＝79及t＝444.
当t＝0时，f(0)＝3sin eq \f(2π,365)(－79)≈3sin(－1.36)≈－2.9.
∵f(x)的周期为365，∴f(365)≈－2.9.
将f(t)在[0,365]上的图象向上平移12个单位，就得D(t)的图象(如图所示)．
(2)白昼时间最长的一天，即D(t)取最大值的一天，此时t≈170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t≈353时D(t)取最小值，即12月20日(闰年除外)白昼最短．
(3)D(t)>10.5，即3sin eq \f(2π,365)(t－79)＋12>10.5，
sin eq \f(2π,365)(t－79)>－eq \f(1,2)，t∈[0,365]．
∴292>t≥49,292－49＝243.故约有243天的白昼时间超过10.5小时．
已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式并结合题中所提供信息即可求解．
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解析：(1)因为f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
又0≤t＜24，
所以eq \f(π,3)≤eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)＜eq \f(7π,3)，
－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.
当t＝2时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；
当t＝14时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.
于是f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
故有10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＞11，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＜－eq \f(1,2).
又0≤t＜24，所以eq \f(7π,6)＜eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)＜eq \f(11π,6)，
即10＜t＜18.故在10时至18时实验室需要降温．
探究三 根据数据拟合函数
[例3] 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
[解析] (1)由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，∴y＝3sin eq \f(π,6)t＋10.
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sin eq \f(π,6)t＋10≥11.5，
∴sin eq \f(π,6)t≥eq \f(1,2).①
∵0≤t≤24，
∴0≤eq \f(π,6)t≤4π.②
由①②得eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)t≤eq \f(5,6)π或eq \f(13,6)π≤eq \f(π,6)t≤eq \f(17,6)π.
化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ω t＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解析：(1)由表中数据可知，T＝12，
所以ω＝eq \f(π,6).
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为eq \f(1,2)，函数解析式为y＝eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以y＝eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1>1，cs eq \f(π,6)t>0,2kπ－eq \f(π,2)即12k－3又0≤t≤24，
所以0≤t<3或9授课提示：对应学生用书第118页
一、“众人皆醉我独醒”——三角换元的独特之用
换元法又称辅助元素法，“三角换元”是其中一种换元方法，即把某个式子用某一三角函数表示，将问题转化为三角函数问题，也是三角函数的一种应用．
[典例] 实数x、y满足eq \f(x－12,9)＋eq \f(y＋12,16)＝1，若x＋y－k＞0恒成立，求k的取值范围．
[解析] 由eq \f(x－12,9)＋eq \f(y＋12,16)＝1，设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,3)＝cs θ，,\f(y＋1,4)＝sin θ，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋3cs θ，,y＝－1＋4sin θ，))
代入不等式x＋y－k＞0得3cs θ＋4sin θ－k＞0，
即k＜3cs θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，所以k＜－5.
二、因对y＝Asin(ωx＋φ)表示的实际意义理解不清致误
[典例] 弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移．
[解析] (1)设振幅为A，则2A＝20 cm，
所以A＝10 cm.
设周期为T，则eq \f(T,2)＝0.5 s，所以T＝1，所以f＝1 Hz.
(2)振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200 (cm)．
5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
纠错心得 1.本题易出现以下两方面错误：
(1)没有正确理解振幅的含义，且以为从B点到达C点就是运动了一个周期；(2)混淆了路程与位移的概念．
2．在求解三角函数模型的简单应用时，常用正弦函数模型y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移与随时间x变化规律．其中：(1)A为振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移：(2)T＝eq \f(2π,ω)为周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)为频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．
数学建模
数学运算
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
t
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
2t＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
授课提示：对应学生用书第116页
[教材提炼]
知识点 科学试验、生活中的三角函数
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么可以考虑什么函数来描述？
知识梳理 简谐运动
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝eq \f(2π,ω)，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．
[自主检测]
1．函数y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6) B．6π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6)
C．3π，3，－eq \f(π,6) D．6π，3，eq \f(π,6)
答案：B
2．已知简谐运动f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝eq \f(π,6) B．T＝6，φ＝eq \f(π,3)
C．T＝6π，φ＝eq \f(π,6) D．T＝6π，φ＝eq \f(π,3)
答案：A
3．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的( )
A．频率为1.5 Hz
B．周期为1.5 s
C．周期为6 s
D．频率为6 Hz
答案：B
4．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s 的函数关系式为s＝6sin(2πt＋eq \f(π,6))，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
答案：1 s
授课提示：对应学生用书第117页
探究一 三角函数在物理中的应用
[例1] [教材P242拓展探究]
(1)已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
①小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
③经过多长时间小球往复振动一次？
(2)已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2))).
①如图是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
②如果t在任何一段eq \f(1,150)秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
[解析] (1)列表如下：
描点、连线，图象如图所示．
①将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，
得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，
所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.
②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
③因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
(2)①由题图可知A＝300.
设t1＝－eq \f(1,900)，t2＝eq \f(1,180)，则周期T＝2(t2－t1)＝
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,180)＋\f(1,900)))＝eq \f(1,75)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝150π.
又当t＝eq \f(1,180)时，I＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150π·\f(1,180)＋φ))＝0，
而|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).
故所求函数的解析式为I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150πt＋\f(π,6))).
②依题意，周期T≤eq \f(1,150)，即eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,150)(ω＞0)，
∴ω≥300π≈942.48.
又ω∈N*，故ω的最小正整数值为943.
三角函数解决物理问题的三个关键量
(1)物体运动的初始位置，即初相．
(2)完成一次运动需要的时间，即周期．
(3)离开平衡位置的最大位移，即振幅．
探究二 三角函数在生活中的应用
[例2] 估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝eq \f(k,2)sin eq \f(2π,365)(t－79)＋12，其中t(t∈Z)表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
(1)在波士顿，k＝6，试画出当0≤t≤365时函数的图象；
(2)在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．
[解析] (1)先用五点法作出f(t)＝3sin eq \f(2π,365)(t－79)的简图，由eq \f(2π,365)(t－79)＝0及eq \f(2π,365)(t－79)＝2π，得t＝79及t＝444.
当t＝0时，f(0)＝3sin eq \f(2π,365)(－79)≈3sin(－1.36)≈－2.9.
∵f(x)的周期为365，∴f(365)≈－2.9.
将f(t)在[0,365]上的图象向上平移12个单位，就得D(t)的图象(如图所示)．
(2)白昼时间最长的一天，即D(t)取最大值的一天，此时t≈170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t≈353时D(t)取最小值，即12月20日(闰年除外)白昼最短．
(3)D(t)>10.5，即3sin eq \f(2π,365)(t－79)＋12>10.5，
sin eq \f(2π,365)(t－79)>－eq \f(1,2)，t∈[0,365]．
∴292>t≥49,292－49＝243.故约有243天的白昼时间超过10.5小时．
已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式并结合题中所提供信息即可求解．
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解析：(1)因为f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
又0≤t＜24，
所以eq \f(π,3)≤eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)＜eq \f(7π,3)，
－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.
当t＝2时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；
当t＝14时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.
于是f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
故有10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＞11，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＜－eq \f(1,2).
又0≤t＜24，所以eq \f(7π,6)＜eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)＜eq \f(11π,6)，
即10＜t＜18.故在10时至18时实验室需要降温．
探究三 根据数据拟合函数
[例3] 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
[解析] (1)由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，∴y＝3sin eq \f(π,6)t＋10.
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sin eq \f(π,6)t＋10≥11.5，
∴sin eq \f(π,6)t≥eq \f(1,2).①
∵0≤t≤24，
∴0≤eq \f(π,6)t≤4π.②
由①②得eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)t≤eq \f(5,6)π或eq \f(13,6)π≤eq \f(π,6)t≤eq \f(17,6)π.
化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ω t＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解析：(1)由表中数据可知，T＝12，
所以ω＝eq \f(π,6).
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为eq \f(1,2)，函数解析式为y＝eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以y＝eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1>1，cs eq \f(π,6)t>0,2kπ－eq \f(π,2)
所以0≤t<3或9
一、“众人皆醉我独醒”——三角换元的独特之用
换元法又称辅助元素法，“三角换元”是其中一种换元方法，即把某个式子用某一三角函数表示，将问题转化为三角函数问题，也是三角函数的一种应用．
[典例] 实数x、y满足eq \f(x－12,9)＋eq \f(y＋12,16)＝1，若x＋y－k＞0恒成立，求k的取值范围．
[解析] 由eq \f(x－12,9)＋eq \f(y＋12,16)＝1，设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,3)＝cs θ，,\f(y＋1,4)＝sin θ，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋3cs θ，,y＝－1＋4sin θ，))
代入不等式x＋y－k＞0得3cs θ＋4sin θ－k＞0，
即k＜3cs θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，所以k＜－5.
二、因对y＝Asin(ωx＋φ)表示的实际意义理解不清致误
[典例] 弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移．
[解析] (1)设振幅为A，则2A＝20 cm，
所以A＝10 cm.
设周期为T，则eq \f(T,2)＝0.5 s，所以T＝1，所以f＝1 Hz.
(2)振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200 (cm)．
5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
纠错心得 1.本题易出现以下两方面错误：
(1)没有正确理解振幅的含义，且以为从B点到达C点就是运动了一个周期；(2)混淆了路程与位移的概念．
2．在求解三角函数模型的简单应用时，常用正弦函数模型y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移与随时间x变化规律．其中：(1)A为振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移：(2)T＝eq \f(2π,ω)为周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)为频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．
数学建模
数学运算
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
t
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
2t＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
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