选择性必修 第三册6.2 排列与组合优秀精练

绝密★启用前

6.2.2排列数同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 由，，，，组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列，则等于   

A.   B.  C.   D.

2. 将个座位连成一排，安排个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有

A.  B.  C.  D.

3. 位大学生乘坐同一列动车，该动车有节车厢，则至少有位大学生在同一节车厢的概率为   

A.  B.  C.  D.

4. 永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩年月，成功列入世界遗产名录它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻则共有种不同的排法．

A.  B.  C.  D.

5. 从人中选人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6. 若从，，，，，这六个数字中选个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8. 甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽如果把这五个音阶全用上，排成一个个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为   

A.  B.  C.  D.

10. 五行是中国古代的一种物质观．多用于哲学、中医学和占卜方面．五行指代：金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，且“木、土”不相邻排法的种数

A.  B.  C.  D.

11. 某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为   

A.  B.  C.  D.

12. 成都七中举行的秋季运动会中，有甲、乙、丙、丁四位同学参加了米短跑比赛，现将四位同学安排在，，，这个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在道，乙不在道的不同安排方法有种．

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队、、、，前往四个国家、、、进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有          请用数字作答种的不同的派遣方法如果已知医疗队被派遣到国家，那么此时医疗队被派遣到国的概率是          ．
14. 若，则          ，          
15. 在二项式的展开式中，所有有理项系数之和为      ，把所有项进行重新排列，则有理项互不相邻的排法有      种
16. 嘉湖中学高二年级共个班级，教室均分在号楼的一至四层，学生自管会现将来自不同楼层的个学生分配到各楼层执行管理工作，要求每个学生均不管理自已班级所在的楼层，则共有          种不同的安排方法，如果事后排成一排拍照留影，则共有          种不同的站位方法用数字作答
17. 如图，现有种不同颜色给图中个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有          种不同涂色方法；若要求种颜色都用上且任意两个相邻区域不同色，共有          种不同涂色方法．用数字作答

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 名男生和名女生站成一排．

甲不在中间也不在两端的站法有多少种？

甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？

男、女分别排在一起的站法有多少种？

男、女相间的站法有多少种？

甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？






 

19. 某小微企业生产一种如下图所示的电路子模块：

    要求三个不同位置、、接入三种不同类型的电子元件，且备选电子元件为、、型，它们正常工作的概率分别为、、假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立．当且仅当号位元件正常工作，同时号位与号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．

共可组装出多少种不同的电路子模块？

求电路子模块能正常工作的概率最大值；

若以每件元、元、元的价格分别购进、、型元件各件，组装成套电路子模块出售，设每套子模块组装费为元．每套子模块的售价为元，但每售出套不能正常工作子模块，除退还购买款外，还将支付购买款的倍作为赔偿金．求生产销售套电路子模块的最大期望利润．






 

20. 已知，且．

求的值；

求的值．






 

21. 已知名同学站一排，要求甲站中间，乙不站两端，记满足条件的所有不同的排法种数为，求的值；
    求的展开式中的常数项．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知圆的方程，从，，，，，，，，这个数中选出个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问：

可以作多少个不同的圆？

经过原点的圆有多少个？

圆心在直线上的圆有多少个？






 

23. 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的个红球、个黄球、个白球和个黑球，顾客不放回地每次摸出个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就继续摸球规定摸到红球奖励元，摸到白球或黄球奖励元，摸到黑球不奖励．

求一名顾客摸球次停止摸奖的概率

记为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了排列的应用以及计数原理的应用，为基础题．
根据题意先判断千位是的时候，有个，从而判断是千位数是的最大数，即可求解．
【解答】
解：千位数为时组成的四位数有个，
同理，千位数是，，，时均有个数，
而千位数字为，，时，从小到大排成数列的个数为，
即是第个．
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查计数原理的实际应用，属于基础题．
根据题意，先对相邻的两个空位位置分类讨论，求出空位的所有可能，再将剩下的个位置全排列，由此求出所有不同坐法．
【解答】
解：将个座位依次编号为，，，，
当或为空时，第三个空位有种选择；
当或或或为空时，第三个空位有种选择；
因此空位共有种选择，
所以不同坐法有，
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了古典概型的计算与应用的相关知识，试题难度较易．
首先求出位大学生均不在同一节车厢的概率，然后根据对立事件求解．
【解答】
解：位大学生的乘车方式共有种，
其中均不在同一节车厢的乘车方式有种，
所以位大学生均不在同一节车厢的概率为，
故至少有位大学生在同一节车厢的概率为，
故选C．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查排列的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分步进行分析：将方形、五角形看成一个整体，与除圆和方形、五角形之外的个图形全排列，将圆形安排在第一个或最后一个，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分步进行分析：
将方形、五角形看成一个整体，与除圆和方形、五角形之外的个图形全排列，有种情况，
将圆形安排在第一个或最后一个，有种情况，
则有种不同的排法，
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查排列的应用，注意间接法比直接分析更为简便，要使用间接法．
根据题意，使用间接法，首先计算从人中选人分别到四个城市游览的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人去巴黎游览的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，由排列公式可得，首先从人中选人分别到四个城市游览，有种不同的情况，
其中包含甲到巴黎游览的有种，乙到巴黎游览的有种，
故这人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有种；
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查排列组合的应用，涉及分类，分步计数原理的应用，解题时需要注意偶数的
末位数字及不在首位等性质，属于基础题．
由于不能在首位，则分两种情况：
若在个位，此时一定不在首位，由排列数公式即可得此时三位偶数的数目；
若不在个位，要排除在首位的可能，由分步计数原理可得此时三位偶数的数目，
综合两种情况，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分种情况讨论：若在个位，此时只须在，，，，中任取个数字，
作为十位和百位数字即可，有个没有重复数字的三位偶数；
若不在个位，此时必须在或中任取个，作为个位数字，有种取法，不能作为百位数字，
则百位数字有种取法，十位数字也有种取法，此时共有个没有重复数字的三位偶数，
综合可得，共有个没有重复数字的三位偶数．
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分类加法和分步乘法计数原理，和排列的综合应用，属于基础题．
根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的门全排列，即可求解．
【解答】
解：由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第节和第节或第节和第节或第节和第节，有种，再考虑两者的顺序，有种，
剩余的门全排列，安排在剩下的个位置，有种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法．
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查排列、组合的综合应用，涉及分类讨论的思想，注意按一定的顺序分类，做到不重不漏，属于中档题．
根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有种分配方法，即甲在星期一、二、三；
分种情况讨论可得，
甲在星期一有种安排方法，
甲在星期二有种安排方法，
甲在星期三有种安排方法，
总共有种．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要古典概型计算，排列数及简单计数问题，考查学生数学应用能力，属于中档题．
不相邻问题，利用插空法求出排列数目，然后利用古典概型计算得到答案．
【解答】
解：由题意得五个音阶全排列共有，
因为宫、羽不相邻，所以首先排其它三个元素，然后在将宫、羽插入四个空位中，即，
所以宫、羽不相邻的概率为，
故选C．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分步乘法计数原理和排列与排列数公式，属于基础题．
利用排列与排列数公式，结合分步乘法计数原理计算得结论．
【解答】
解：先把“金、水、火”全排，有种，形成个空挡，
再“木、土”插入个空挡，有种，
因此共有．
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了排列的应用，属于基础题．
把剩余的个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解．
【解答】
解：由题意知，剩余的个车位连在一起，把剩余的个车位看成一个元素，且只有一种排法，
再加上有辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，
其中四个元素的排列共有种，
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了排列组合的综合应用，属于基础题．
由题意分为两类：甲在道的安排方法；甲不在道的安排方法，由分类加法计数原理计算出总的安排种数．
【解答】
解：甲在道的安排方法有：种；
甲不在道，则甲只能在或号道，乙不能在道，只能在剩下的个道中选择一个，丙丁有种，所以甲不在号跑道的分配方案有种，
故共有种方案，
故选B．  

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查古典概型的求法，排列的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
前往四个国家、、、进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，利用排列公式能求出不同的派遣方法种数；医疗队被派到国家，基本事件总数，此时医疗队被派遣到国包含的基本事件有：，由此能求出此时医疗队被派遣到国的概率．
【解答】
解：我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队、、、，前往四个国家、、、进行抗疫技术指导，
每支医疗队到一个国家，
总共有：种的不同的派遣方法．
已知医疗队被派到国家，
基本事件总数，
此时医疗队被派遣到国包含的基本事件有：，
此时医疗队被派遣到国的概率是．
故答案为；．  

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查排列数公式，属基础题．
根据排列数公式，结合已知得到．
【解答】
解：根据排列数公式
，
可得，，解得．
故答案为；．  

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理和排列问题，解决问题的关键是写出展开式的通项，得出有理项，然后由插空法计算可得答案．

【解答】

解：由题意可得展开式的通项为，

故当，，，时，项为有理项，其系数和为，

要使这个有理项互补相邻，先排列剩余项，再插空，

故有．

故答案为  ．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查排列的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
对于第一空：依次分析每一层学生的安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案，
对于第二空：由排列数公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，要求每个学生均不管理自己班级所在的楼层，
第一层的学生不能管理第一层，有种安排方法，
假设第一层的学生管理第二层，则第二层有种安排方法，
剩下名学生只有种安排方法，
则每个学生均不管理自己班级所在的楼层的安排方法有种，
如果事后排成一排拍照留影，有种排法，
故答案为：，．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了两个计数原理的实际应用，考查区域涂色问题，属于中档题．
空：若种不同颜色给图中个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，每个区域只涂一种颜色，只需按照区域分步涂色，先涂接触区域最多的区域，依次分析下一区域的可选颜色数，即可求解
空：若要求种颜色都用上且任意两个相邻区域不同色，先考虑可以同色的区域，确定同色区域后，种颜色全排列即可求解．
【解答】
解：现有种不同颜色给图中个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，分步涂色：
先涂区域有种，再涂区域有种，再涂区域有种，再涂区域有种，再涂区域有种，
共有种；
若要求种颜色都用上且任意两个相邻区域不同色，则必有块区域同色．
根据图形可知，同色的可能区域有：和，和，和，和，共种情形．
所以涂色方法有：．
故答案为：，．  

18.【答案】解：先排甲有种，
其余有种，
共有种排法
先排甲、乙，再排其余人，
共有种排法
把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，
种
先排名男生有种方法，
再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法
人共有种排法，
其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法．
 

【解析】本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法优先考虑特殊元素、位置分析法优先考虑特殊位置、直接法、捆绑法、插空法等常见的解题思路．
这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有种，剩下的个元素全排列有种，根据分步计数原理得到结果
先排甲、乙，再排其余人，再根据分步计数原理得到结果
把男生和女生分别看成一个元素，两个元素进行排列，男生和女生内部还有一个全排列
先排名男生有种方法，再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，根据分步计数原理得到结果
人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，类似于平均分组．
 

19.【答案】解：（1）不同的电路子模块共有种；
（2）6种子模块正常工作概率的只有下面三种，
用A、B、C分别表示事件“1号为接入A、B、C型元件时，子模块能正常工作”，
则P(A)=0.9,
P(B)=0.8×[1-(1-0.7)×（1-0.9）]=0.8×0.97=0.776，
P(C)=0.7×[1-(1-0.8)×(1-0.9)]=0.7×0.98=0.686，
​​​​​​​有P(A)>P(B)>P(C),
所以当1号位接入A型元件时,子模块正常工作的概率最大,为0.846.
(3)子模块正常工作的概率越大,期望利润会越高,应把A型元件接入1号位.
方法一:设每套子模块的利润为X,若能正常工作,则X=150-20-10=120元,
若不能正常工作,则X=-20-10-450=-480元,
所以X的分布列为
 

所以E(X)=1200.846-4800.154=27.6元,
即生产1000套子模块的最大期望利润为100027.6=27600元.
方法二: 设10000 套子模块中能正常工作的套数为X, 利润为Y.
则X~B(1000,0.846)，且Y=150X-450(1000-X)-20×1000-(5+3+2)×1000=600X-480000，
∴E(X)=1000×0.846=846,E(Y)=600E(X)-480000=27600,
即生产1000套子模块的最大期望李锐为1000×27.6=27600元.
 

【解析】本题考查排列与排列数公式，考查相互独立事件同时发生的概率计算，考查离散型随机变量的数学期望计算，属于中档题.
(1)利用排列数公式求出即可；
(2)利用相互独立事件的概率计算公式进行求解得出即可；
(3)根据题意列出分布列求出数学期望得出结论即可.
 

20.【答案】解：
，
整理可得：，即，
故，
解得：或舍去．
．
由 ，
 ，
令，可得，
令，
可得，
，
可得．
 

【解析】本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，排列数公式，组合数公式，赋值法的应用，属于中档题．
由，利用排列数公式，组合数公式，得的方程，求解即可求得答案；
采用赋值法，令求出，再令，求，即可求得答案．
 

21.【答案】解：个人排成一排，要求甲排在中间，乙不排在两端，则乙在中间的个位置上，
则所有的方法有，
 的展开式的通项为，
令，求得，可得展开式的常数项为．
 

【解析】本题主要考查排列组合、二项式定理的应用，二项展开式的通项，属于基础题．
利用排列组合的知识先排甲、再排乙，其余的任意排，从而求得结果．
先求得的展开式的通项，再令的幂指数等于零，求得的值，可得展开式的常数项．
 

22.【答案】解：可分两步完成：第一步，先选，因为，则有种选法，
第二步，再选，，在剩余个数中任取个，有种选法，
所以由分步乘法计数原理可得有个不同的圆．
圆经过原点，、、满足，
满足该条件的，，共有，，与，，两组，考虑、的顺序，有种情况，
所以符合题意的圆有个．
圆心在直线上，即满足，则满足条件的、有三组：，；，；，．
当、取、时，有种情况，
当、取、；、时，不可取，有种情况，
考虑、的顺序，有种情况，
所以满足题意的圆共有个．
 

【解析】本题考查分步乘法原理、分类加法原理、排列与排列数，属于基础题．
可分两步完成：先选，再选，，可得有个不同的圆．
由题意得，满足该条件的，，共有两组，可得符合题意的圆有个．
满足，则满足条件的、有三组，根据分类加法原理可得满足题意的圆共有个．
 

23.【答案】解：设“一名顾客摸球次停止摸奖”为事件，则，

故一名顾客摸球次停止摸球的概率为．

随机变量的所有可能取值为，，，，．

，，

，，

．

所以随机变量的分布列为

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列，属中档题．
利用排列数，根据古典概型的概率计算；
先判断的所有可能值为，，，，，再结合排列组合，利用古典概型的概率等知识求得各自的概率，列表得到分布列．