高中数学5.1 任意角和弧度制精练

5．1　任意角和弧度制

5.1.1　任意角

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列各角中，与60°角终边相同的角是(　A　)

A．－300°  B．－60°

C．600°  D．1 380°

[解析]　与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A．

2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　B　)

A．150°  B．－150°

C．390°  D．－390°

[解析]　各角和的旋转量等于各角旋转量的和．

∴120°＋(－270°)＝－150°，故选B．

3．下列说法正确的个数是(　A　)

①小于90°的角是锐角　②钝角一定大于第一象限的角

③第二象限的角一定大于第一象限的角　④始边与终边重合的角为0°

A．0  B．1

C．2  D．3

[解析]　①错，负角小于90°，但不是锐角，②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α(90°<α<180°)，③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°，④错，始边与终边重合的角是k·360°(k∈Z)，故选A ．

4．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为(　B　)

A．k·360°＋β(k∈Z) B．k·360°－β(k∈Z)

C．k·180°＋β(k∈Z) D．k·180°－β(k∈Z)

[解析]　因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝k·360°(k∈Z)，

所以α＝k·360°－β(k∈Z)．故选B．

5．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是(　D　)

A．45°－4×360°  B．－45°－4×360°

C．－45°－5×360°  D．315°－5×360°

[解析]　－1485°＝315°－5×360°．

6．若α是第三象限角，则是(　D　)

A．第一或第三象限角  B．第二或第三象限角

C．第一或第三象限角  D．第二或第四象限角

[解析]　∵α是第三象限角，

∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z．

∴k·180°＋90°<<k·180°＋135°，k∈Z．

当k为偶数时，是第二象限角；

当k为奇数时，是第四象限角．

二、填空题

7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于__60°__．

8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝　k·360°＋60°，k∈Z　．

[解析]　先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°．

再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z．

三、解答题

9．已知α＝－1910°．

(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°．

[解析]　(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，

则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)．

令－1910°－k·360°≥0，解得k≤－＝－5．

k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，

于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．

(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，

取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．

250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°．

故θ＝－110°或θ＝－470°．

10．已知，如图所示．

(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

[解析]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．

(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．

B级　素养提升

一、选择题

1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A，B，C的关系是(　B　)

A．B＝A∩C  B．B∪C＝C

C．A包含于C  D．A＝B＝C

[解析]　A＝{第一象限角}＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，B＝{锐角}＝{θ|0<θ<90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}，故选B．

2．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是(　C　)

A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合

C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合

[解析]　由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z．

∴180°k<α<180°k＋90°，k∈Z，故选C．

3．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是(　D　)

A．α＋β＝0 B．α－β＝0

C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)

[解析]　∵α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，

β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，

∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．

4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于(　C　)

A．{－36°，54°}

B．{－126°，144°}

C．{－126°，－36°，54°，144°}

D．{－126°，54°}

[解析]　当k＝－1时，α＝－126°∈B；

当k＝0时，α＝－36°∈B；当k＝1时，α＝54°∈B；

当k＝2时，α＝144°∈B．

二、填空题

5．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝__72°，144°，216°，288°__．

[解析]　依题意，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，故θ＝k·72°(k∈Z)．

又0°<θ<360°，

故令k＝1，2，3，4得θ＝72°，144°，216°，288°．

6．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈　{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}　．

[解析]　在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．

三、解答题

7．已知角β的终边在直线x－y＝0上．

①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．

[解析]　①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：

S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，

所以，角β的集合S＝S1∪S2

＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}

＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}

＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．

②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，

解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2，－1，0，1，2，3．

所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：

60°－2×180°＝－300°；

60°－1×180°＝－120°；

60°－0×180°＝60°；

60°＋1×180°＝240°；

60°＋2×180°＝420；

60°＋3×180°＝600°．

8．在角的集合{α|a＝k·90°＋45°，k∈Z}中．

(1)有几种终边不相同的角？

(2)有几个落在－360°～360°之间的角？

(3)写出其中是第二象限的一般表示方法．

[解析]　(1)当k＝4n(n∈Z)时，α＝n·360°＋45°与45°角终边相同；

当k＝4n＋1(n∈Z)时，α＝n·360°＋135°与135°的终边相同；

当k＝4n＋2(n∈Z)时，α＝n·360°＋225°与225°的终边相同；

当k＝4n＋3(n∈Z)时，α＝n·360°＋315°与315°的终边相同．

所以，在给定的角的集合中共有4种终边不相同的角．

(2)由－360°<k·90°＋45°<360°，得－<k<．

又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3．

所以，在给定的角的集合中落在－360°～360°之间的角共有8个．

(3)其中，第二象限可表示为α＝k·360°＋135°，k∈Z．

C级　能力拔高

集合M＝{x|x＝ ±45°，k∈Z}，P＝{x|x＝ ±90°，k∈Z}，则M，P之间的关系为__M包含于P__．

[解析]　对集合M来说，x＝(2k±1)×45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)×45°，即45°的倍数．