高中人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示优秀精练

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列四种说法中，不正确的是 (　B　)

A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应

B．函数的定义域和值域一定是无限集合

C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了

D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素

2．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是 (　B　)

A．f(x)＝  B．f(x)＝

C．f(x)＝|x|  D．f(x)＝

[解析]　y＝＝，∴x≠0．

∴函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故选B．

3．函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域是 (　C　)

A．(5，9)  B．[5，0]

C．{5，7，9}  D．{5，6，7，8，9}

[解析]　由题意，函数的定义域为{2，3，4}，当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9，所以函数的值域为{5，7，9}．

4．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是 (　C　)

A．f：x→y＝x　　　　  B．f：x→y＝x

C．f：x→y＝x  D．f：x→y＝

[解析]　对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C．

5．下列各组函数表示相等函数的是 (　C　)

A．y＝与y＝x＋3

B．y＝－1与y＝x－1

C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)

D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z

[解析]　A项中y＝可化为y＝x＋3(x≠3)，∴定义域不同；B项中y＝－1＝|x|－1．∴定义域相同，但对应关系不同；D项中定义域相同，但对应关系不同；C项正确，故选C．

6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝m的交点个数为 (　C　)

A．可能有无数个　　  B．只有一个

C．至多一个  D．至少一个

[解析]　根据函数定义，一个自变量x只能对应一个函数值y，而y＝f(x)的定义域中不一定含有m．

二、填空题

7．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝__－__．

[解析]　f(t)＝＝6．∴t＝－．

8．用区间表示下列数集：

(1){x|x≥1}＝__[1，＋∞)__；

(2){x|2＜x≤4}＝__(2，4]__；

(3){x|x＞－1且x≠2}＝__(－1，2)∪(2，＋∞)__．

三、解答题

9．求下列函数的定义域，并用区间表示：

(1)y＝－；

(2)y＝．

[解析]　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，

即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1，1]．

(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

，

解得x≤5，且x≠±3，

即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3，3)∪(3，5]．

B级　素养提升

一、选择题

1．下列函数中，不满足：f(2x)＝2f(x)的是 (　C　)

A．f(x)＝|x|  B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋1  D．f(x)＝－x

[解析]　f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，故A，B，D满足条件．

2．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是 (　B　)

[解析]　A，C，D的值域都不是[1，2]，故选B．

3．函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝ (　B　)

A．[－1，＋∞)  B．[－1，)

C．(－1，)  D．(－∞，)

4．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为 (　C　)

A．{1}  B．{2}

C．{3}  D．

[解析]　由题意可知，当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不满足方程；

当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不满足方程；

当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，满足方程，故选C．

二、填空题

5．若[a，3a－1]为一确定的区间，则a的取值范围是__(，＋∞)__．

[解析]　由题意得，3a－1>a，∴a>．

6．若函数f(x)＝ax2－1，a为正常数，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是__1__．

[解析]　f(－1)＝a－1，∴f[f(－1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，

∴a(a－1)2＝0，

又∵a>0，∴(a－1)2＝0，∴a＝1．

C级　能力拔高

1．已知函数f(x)＝，

(1)求f(x)的定义域；

(2)若f(a)＝2，求a的值；

(3)求证：f＝－f(x)．

[解析]　(1)要使函数f(x)＝有意义，只需1－x2≠0，解得x≠±1，

所以函数的定义域为{x|x≠±1}．

(2)因为f(x)＝，且f(a)＝2，

所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±．

(3)由已知得f＝＝，

－f(x)＝－＝，

∴f＝－f(x)．

2．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

[解析]　f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，1)，开口向上，若存在实数m，使该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m]，则需m>1，且f(m)＝m，

即m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，

解得m＝3或m＝1(舍去m＝1)．

故存在实数m＝3满足条件．