人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质精品第二课时一课一练

A级　基础巩固

一、选择题

1．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (　C　)

A．－2，f(2)　　　　　　 B．2，f(2)

C．－2，f(5)  D．2，f(5)

[解析]　由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)，故选C．

2．函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为 (　B　)

A．－1　　　　　　　　  B．2

C．0  D．4

[解析]　y＝－3x2＋2的图象开口向下，对称轴为x＝0，因此在[－1，0]上递增在[0，2]上递减，在x＝0处取得最大值2，故选B．

3．已知函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝ (　A　)

A．  B．－

C．1  D．－1

[解析]　函数f(x)＝在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝1，f(x)min＝，

∴A－B＝1－＝．

4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为 (　C　)

A．2  B．－2

C．2或－2  D．0

[解析]　由题意知a≠0，当a＞0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2．综上知a＝±2．

5．函数y＝x＋的最值的情况为 (　A　)

A．最小值为，无最大值 B．最大值为，无最小值

C．最小值为，最大值为2 D．无最大值，也无最小值

[解析]　∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，∴函数最小值为，无最大值，故选A．

6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为 (　C　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

[解析]　f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，

∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，

∴f(x)在[0，1]上单调递增．

又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，

∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1．

二、填空题

7．若函数f(x)＝，则x∈[3，5]的最大值为__2__，最小值为____1__．

[解析]　f(x)＝在[3，5]上为递减函数，当x＝3时f(x)max＝2；当x＝5时f(x)min＝1．

8．函数y＝x2－x＋1的值域是__[，＋∞)__．

[解析]　因为二次函数开口向上，所以它的最小值为．故值域为[，＋∞)．

三、解答题

9．已知函数f(x)＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞)．(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．

[解析]　(1)函数f(x)＝x＋＋2，设1≤x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，

∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，

∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0．

即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．

(2)从而当x＝1时，f(x)有最小值．

B级　素养提升

一、选择题

1．下列函数在[1，4]上最大值为3的是 (　A　)

A．y＝＋2  B．y＝3x－2

C．y＝x2  D．y＝1－x

[解析]　y＝＋2在[1，4]上为减函数，当x＝1时y最大值为3，故选A．

2．若函数y＝2ax－b 在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是 (　C　)

A．1  B．－1

C．1或－1  D．0

[解析]　当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最大值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1．

3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 (　D　)

A．[1，＋∞)  B．[0，2]

C．(－∞，2]  D．[1，2]

[解析]　f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D．

二、填空题

4．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是__(－∞，－1]__．

[解析]　∵f(x)＝2x－3在[1，＋∞)上单调递增，

∴f(x)≥f(1)＝－1．

∵m≤f(x)恒成立，∴m≤－1．

5．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__1＜a≤3__．

[解析]　画f(x)＝x2－6x＋8的图象，

∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，

∴1＜a≤3．

三、解答题

6．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．

(1)写出函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在区间[－1，]的最大值．

[解析]　f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．

(1)f(x)在(－∞，－]和[0，＋∞)上是增函数，在[－，0]上是减函数，

因此f(x)的单调区间为(－∞，－]，[－，0]，[0，＋∞)．

(2)∵f(－)＝，f()＝，∴f(x)在区间[－1，]的最大值为．

C级　能力拔高

1．设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f(1－x)＝x2－3x＋3．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－5x＋1在[m，m＋1]上的最小值为－2，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)令1－x＝t，

得f(t)＝(1－t)2－3(1－t)＋3，

化简得f(t)＝t2＋t＋1，

即f(x)＝x2＋x＋1，x∈R．

(2)由(1)知g(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2(m≤x≤m＋1)，

∵g(x)min＝－2，

∴m≤2≤m＋1，∴1≤m≤2．

2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0．

(1)求f(1)的值；

(2)判定f(x)的单调性；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．

[解析]　(1)令x1＝x2，则f(1)＝f()＝f(x1)－f(x2)＝0．

(2)任取x1，x2满足0＜x1＜x2，则＞1，∴f()＜0．

∵f()＝f(x2)－f(x1)，

∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

(3)∵f(3)＝f()＝f(9)－f(3)，∴f(9)＝2f(3)＝－2．

又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在[2，9]上是减函数．

∴f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)＝－2．