高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示测试题

3.1函数的概念及其表示

一．选择题（共4小题）

1．定义：若函数在区间，上的值域为，，则称区间，是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则　　

A．，是的一个“完美区间” 

B．，是的一个“完美区间” 

C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 

D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

2．设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意、，存在使得，则满足条件的集合的个数为　　

A．3 B．5 C．7 D．无穷个

3．设函数，，，，为实数，则　　

A．若的值域为，，则 

B．若的值域为，，则 

C．若，则的值域可能为， 

D．若，则的值域可能为，

4．对于函数，若存在区间，，当，时的值域为，，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

二．填空题（共4小题）

5．一般地，若的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．

（1）若，为的跟随区间，则　　．

（2）若函数存在跟随区间，则的取值范围是　　．

6．已知函数，，对于任意的，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是 　　．

7．设，表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称取整函数．定义，给出下列说法：①，②的值域是，0，，③是奇函数，④

正确的序号是　　

8．已知函数的定义域为，，值域为，，则的值为　　．

三．解答题（共2小题）

9．已知函数．

（1）若，求函数的定义域；

（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；

（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围．

10．如图，某城市设立以城中心为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路、西南方向上有一条一级公路，现要在保护区边缘弧上选择一点作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道．已知通往一级公路的道路每公里造价为万元，通往高速公路的道路每公里造价是万元，其中，，为常数，设，总造价为万元．

（1）把表示成的函数，并求出定义域；

（2）当时，如何确定点的位置才能使得总造价最低？

                       3.1函数的概念及其表示

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．定义：若函数在区间，上的值域为，，则称区间，是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则　　

A．，是的一个“完美区间” 

B．，是的一个“完美区间” 

C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 

D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

【分析】根据题意，因为恒成立，所以函数的值域为：，；设区间，是函数的“完美区间“，则当，时，，，所以；则；根据定义，即可判断，；再根据“完美区间”和“复区间长度”的定义求复区间长度，判断， 即可．

【解答】解：因为恒成立，所以函数的值域为：，；

设区间，是函数的“完美区间“，则当，时，，，所以；则；

函数在区间，上时，故值域为，；故，不是的一个“完美区间”，故不正确；

，而函数的最小值为0，区间，不可能是的一个“完美区间”，故 错误

①当时，，，，此时，则函数在，上单调递减；所以函数在区间，上单调递减；

因为函数在区间，上的值域为，，

所以，所以，则，

所以，即，所以，整理得（舍去）；或，

整理得，因为，所以解得（舍去）或；则，

此时，满足原方程组，所以，是方程组的唯一解；

故此情况下存在，使得区间，是函数的“完美区间”，此区间，的“复区间长度”为；

②当时，

（1）若，则，，此时（1），若函数在区间，上的值域为，，则，（b）；

因为，所以（b），即，解得（舍去）或；

故此情况下存在，，使得区间，是函数的“完美区间”，此区间，的“复区间长度”为；

（2）当时，，，；此函数在，上单调递增，

若函数在区间，上的值域为，，则，

所以此时与是方程的两个不等实根，

解得，，所以，因为，

所以此情况不满足题意．

综上所述，函数的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为；故 正确；错误；

故选：．

【点评】本题主要考查函数的概念与性质和函数综合，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．

2．设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意、，存在使得，则满足条件的集合的个数为　　

A．3 B．5 C．7 D．无穷个

【分析】讨论，是否相等，利用求解．

【解答】解：任意、，存在使得，且集合为有限集，

从集合中取两个不同的数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也在集合中．

（1）时：

①集合中只有一个元素，则，，

②集合中有多个元素，则，

（2）时，，，，1，，

综上所述满足条件的集合有5个．

故选：．

【点评】本题考查了函数值域，分类讨论的思想，由抽象到具体，有难度．

3．设函数，，，，为实数，则　　

A．若的值域为，，则 

B．若的值域为，，则 

C．若，则的值域可能为， 

D．若，则的值域可能为，

【分析】根据已知条件，分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质以及复合函数的单调性，确定值域的大致范围，结合选项判断．

【解答】解：，

①若，则，

当时，，；

当，，时，由二次函数的单调性，可得，；

，．

又时，是开口向上的抛物线，有最小值，

当时，即可满足的值域为，，

因此错误，正确；

②若，则，易知，，

不能满足的值域为，，故错误；

③由②知，时，不能满足的值域为，；

若，则是开口向下的抛物线，有最大值，无最小值，

令，则存在，使得，，又函数在时，单调递减，

，由对称关系，在时单调递增，且（1）；

当时，单调递减，且，

，，，

因此，的值域只能是，的子集，

故时，的值域不可能为，，故错误．

故选：．

【点评】本题考查复合函数值域的求法，考查分段函数的性质，考查二次函数的性质与复合函数单调性的判定，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．

4．对于函数，若存在区间，，当，时的值域为，，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

【分析】可看出在定义域内单调递增，从而可得出，，即得出，是方程的两个不同根，从而得出，可设，通过求导，根据导数符号可得出的极小值为（1），并判断出在上单调递减，在上单调递增，并得出趋向0时，趋向正无穷，趋向正无穷时，趋向正无穷，这样即可得出时，方程有两个不同根，即得出的取值范围．

【解答】解：在定义域内单调递增，

（a），（b），即，，即，为方程的两个不同根，

，

设，，

时，；时，，

是的极小值点，的极小值为：（1），

又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，

时，和的图象有两个交点，方程有两个解，

实数的取值范围是．

故选：．

【点评】本题考查了对倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

二．填空题（共4小题）

5．一般地，若的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．

（1）若，为的跟随区间，则　2　．

（2）若函数存在跟随区间，则的取值范围是　　．

【分析】（1）结合图象和跟随区间定义可解此问题；

（2）根据跟随区间定义与函数是在，上是减函数可解此问题．

【解答】解：（1），为的跟随区间，函数值域为，．二次函数的对称轴方程为：，

函数在，上单调递增．，解得：，故的值为2；

（2）设跟随区间为：，．函数的定义域为：，，．

函数是定义域上的减函数且定义域、值域都是，，

，，

，又，

，，代入得：，

同理：，可令，方程在范围内有两个不等实根，

函数与函数有两个交点，又函数的值域，，

由二者图象可知：，．

故答案为：，，

【点评】本题考查函数的性质及应用、数形结合思想，考查数学运算能力，属于难题．

6．已知函数，，对于任意的，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是 　　．

【分析】先求出函数的值域，设函数的值域为，讨论的取值，求出的值域，

根据题意，有，由数集的概念，求出的取值范围．

【解答】解：（1）函数，

当，时，，

的值域是，；

（2）又当，时，

①若，则在，上是增函数，最小值，最大值（2）；

的值域是，，

，，，

即，解得，此时无解；

②若，则在，上是减函数，最小值（2），最大值；

的值域是，，

，，，

即，解得，此时无解；

③若，则在，上是先减后增的函数，

最小值是，最大值是，（2），；

当时，的值域是，，

，，，

即，

解得，或（不符合条件，舍去）；

则取；

当时，的值域是，，

，，，

即；

解得，或，不符合条件，舍去；

综上知，实数的取值范围是：，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查了运算求解的能力以及化归与转化思想，是难题．

7．设，表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称取整函数．定义，给出下列说法：①，②的值域是，0，，③是奇函数，④

正确的序号是　①②　

【分析】根据高斯函数的定义，分别进行判断即可．

【解答】解：在①中，若是整数，则，此时不等式成立，

若不是整数，则根据定义可知，且，

此时不等式，成立，故①正确．

在②中，，；

，，；

；

；

的可能取值为；，0，1，

的值域为，0，，故②正确；

在③中，，比如，

；

．

不是奇函数．故③错误．

在④中，错误，比如，，

；

；

，故④错误．

故答案为：①②．

【点评】本题主要考查高斯函数的定义及应用，正确理解题意是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

8．已知函数的定义域为，，值域为，，则的值为　　．

【分析】由函数的值域为，可得，此时函数，结合函数的定义域是，，值域是，及二次函数的图象和性质，分类讨论，可得答案．

【解答】解：，

故，即，

此时函数，

若函数的定义域是，，值域是，，则

①当时，

（a），（b），

即，，

两式相减得：，

即，

，，而，，

不存在满足条件的实数，；

②当时，

函数最小值即为顶点纵坐标，

，，

若，则（a），，（舍去）；

若，则（b），，解得（舍去）或；

③当时，

（b）且（a），

即，，

则，必然有一根小于1，矛盾，

不存在满足条件的实数，，

综上所述，，

则．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度较大，属于难题．

三．解答题（共2小题）

9．已知函数．

（1）若，求函数的定义域；

（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；

（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围．

【分析】（1）把代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；

（2），设，得，，求得等式右边关于的函数的值域可得的取值范围；

（3）分与两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的范围．

【解答】解：（1）当时，，

由，得，解得或．

函数的定义域为，，；

（2），

，

设，有两个不同实数根，整理得，，

，，当且仅当时，方程有2个不同实数根，

又，的取值范围是；

（3）当时，，在，上单调递减，

此时需要满足，即，函数在，上递减；

当时，，在，上递减，

，，即当时，函数在上递减．

综上，当，时，函数在定义域上连续，且单调递减．

【点评】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．

10．如图，某城市设立以城中心为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路、西南方向上有一条一级公路，现要在保护区边缘弧上选择一点作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道．已知通往一级公路的道路每公里造价为万元，通往高速公路的道路每公里造价是万元，其中，，为常数，设，总造价为万元．

（1）把表示成的函数，并求出定义域；

（2）当时，如何确定点的位置才能使得总造价最低？

【分析】（1）由题意可得，，可得，由正切函数的定义域可得可得函数的定义域为：；

（2）由（1）可得，可化为，由基本不等式可得，由取等号的条件可得答案．

【解答】解：（1）与圆相切于，，在中，，（2分）

同理，可得（4分）

，

，（6分）

可得函数的定义域为：（8分）

（2）由（1）可得

，，

，

当且仅当，即时取等号，

又，所以，

故当取，即点在东偏南的方向上，总造价最低．（16分）

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，涉及基本不等式的应用，属中档题