2020-2021学年3.2 函数的基本性质精品第一课时同步达标检测题

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列函数在区间(0，1)上是增函数的是 (　D　)

A．y＝1－2x　　　　　　　 B．y＝

C．y＝  D．y＝－x2＋2x

[解析]　作出y＝1－2x，y＝的图象易知在(0，1)上为减函数，而y＝的定义域为[1，＋∞)不合题意．故选D．

2．下列命题正确的是 (　D　)

A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数

B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数

C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数

D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1<x2

[解析]　A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．

3．下图中是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是 (　C　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增

B．函数在区间[1，4]上单调递增

C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减

D．函数在区间[－5，5]上没有单调性

[解析]　若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．如0＜5，但f(0)＞f(5)，故选C．

4．函数y＝－x2的单调减区间为 (　C　)

A．(－∞，0]  B．(－∞，0)

C．(0，＋∞)  D．(－∞，＋∞)

[解析]　根据二次函数y＝－x2的图象可知函数y＝－x2的单调递减区间为(0，＋∞)．

5．定义在R上的函数，对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则 (　A　)

A．f(3)<f(2)<f(1)  B．f(1)<f(2)<f(3)

C．f(2)<f(1)<f(3)  D．f(3)<f(1)<f(2)

[解析]　对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)<f(2)<f(1)．故选A．

6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是 (　C　)

A．(－∞，－3)  B．(0，＋∞)

C．(3，＋∞)  D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

[解析]　因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，故选C．

二、填空题

7．函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是__[－1，＋∞)__．

[解析]　∵函数f(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又∵函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，∴a≥－1．

8．函数f(x)＝－2x2＋4x－3的单调递增区间为__(－∞，1]__．

[解析]　f(x)＝－2x2＋4x－3的图象是开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，∴其单调递增区间为(－∞，1]．

三、解答题

9．证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

[证明]　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)．

因为2<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)．

所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

B级　素养提升

一、选择题

1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是 (　D　)

A．(－∞，1)  B．(1，＋∞)

C．(，＋∞)  D．(－∞，)

[解析]　∵f(x)在R上为减函数且f(2x)>f(1)．

∴2x<1，∴x<．

2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是 (　D　)

A．f(x1)＜f(x2)  B．f(x1)＞f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)  D．不能确定

3．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是 (　A　)

A．减函数且f(0)＜0  B．增函数且f(0)＜0

C．减函数且f(0)＞0  D．增函数且f(0)＞0

[解析]　∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0，故选A．

4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是 (　C　)

A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数

B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数

C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数

D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数

[解析]　∵若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)的增减性不确定．

例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－x时，

则f(x)＋g(x)＝x＋2为增函数；当g(x)＝－3x，则f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数，∴不能确定．

二、填空题

5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为__[0，]__．

[解析]　y＝－(x－3)|x|＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，]．

6．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是__(－∞，40]∪[64，＋∞)__．

[解析]　对称轴为x＝，则≤5或≥8，得k≤40或k≥64．

三、解答题

7．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

[分析]　函数解析式中含有绝对值号，因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然后，逐段画图．根据图象指出单调区间．

[解析]　y＝－x2＋2|x|＋3＝

函数图象如图所示．

函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数；

函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．

所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．

C级　能力拔高

1．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围．

[解析]　由题意可知解得0<a<1．①

又f(x)在(－1，1)上是减函数，

且f(1－a)<f(2a－1)，

∴1－a>2a－1，即a<．②

由①②可知，0<a<．

即所求a的取值范围是(0，)．

2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5．

(1)求f(2)的值；

(2)解不等式f(m－2)≥3．

[解析]　(1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，

又f(4)＝5，∴f(2)＝3．

(2)f(m－2)≥f(2)，∴，∴2＜m≤4．

∴m的范围为(2，4]．