高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行课后测评

专题8.5 空间直线平面的平行

知识储备

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.

(2)判定定理与性质定理

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2020·安徽黄山市·屯溪一中高二期中）在下列条件中，可判断平面与平行的是（    ）

A．，

B．m，n是两条异面直线，且，，，

C．m，n是内的两条直线，且，

D．内存在不共线的三点到的距离相等

【答案】B

【解析】对于A选项：若，，则平面与平行或相交，故A不正确；

对于B选项： 在直线n.上取一点Q，过点Q作直线m的平行线m'，所以m'与n是两条相交直线，

所以，，且，根据面面平行的判定定理可得，所以B正确.

对于C选项：若m，n是内的两条直线，且，，则根据面面平行的判定定理可得，平面与平行或相交，所以C不正确.

对于D选项：若内不共线的三点到的距离相等，则根据面面的位置关系可得：平面与平行或相交，故D不正确. 故选：B.

2．（2020·浙江高三期中）已知直线a与平面，能使的充分条件是（    ）

①      ②      ③      ④

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

【答案】D

【解析】对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；

对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；

对③，若，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；

对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.

综上：②④正确，故选：D.

3．（2020·全国高三专题练习（理））若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（    ）

A．0条 B．1条

C．2条 D．0条或2条

【答案】C

【解析】如图, 设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，

则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD，

又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，

而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，

所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条.故选：C.

4．（2020·内蒙古赤峰市·高三月考（理））如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，且，（如图1）.将四边形沿折起，连接，，（如图2）.在折起的过程中，则下列表述：

①平面；

②四点B、C、E、F可能共面；

③，则平面平面；

④平面与平面可能垂直.

其中正确的是（    ）

A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④

【答案】B

【解析】对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：

则且，四边形是矩形，且，为的中点，

为的中点，且，且，

四边形为平行四边形，，即，

平面，平面，平面，命题①正确；

对于命题②，，平面，平面，平面，

若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾，所以，命题②错误；

对于命题③，连接、，设，则，

在中，，，则为等腰直角三角形，

且，，，且，

由余弦定理得，，

，又，，平面，

平面，，

，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，

平面，平面平面，命题③正确；

对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，

平面平面，平面平面，，平面，

平面，

平面，，

，，，，，

又，平面，平面，，

，平面，平面，，

，，显然与不垂直，命题④错误.

所以正确的选项为：①③，故选：B.

5．（2020·河北沧州市·沧州三中高一期末）下面四个命题：

①分别在两个平面内的两直线是异面直线；

②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；

③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；

④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.

其中正确的命题是（    ）

A．①② B．②④ C．①③ D．②③

【答案】B

【解析】

上图中直线j//l，它们分别在两个平面内，所以①不正确；

两平面平行，所以两平面没有公共点，则一个平面内的直线与另一平面没有公共点，

直线平行于平面，所以②正确；

上图中平面内直线j//k，但平面与平面相交，所以③不正确；

一个平面的任何直线平行于另一平面，那么就有两条相交直线平行于另一平面，

根据面面平行的判断定理可知，两平面平行.故选:B

6．（2020·安徽省肥东县第二中学高二月考（理））已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则或

【答案】D

【解析】对于A，若，，则或a与b异面；所以A错；

对于B，若，，则或a与b相交或a与b异面；所以B错；

对于C，若，，则或，所以C错；

对于D，因为，所以在内存在直线c使得，因为，所以，因为，所以或，

当时，因为，，所以，故D正确；故选：D．

二、多选题

7．（2020·河北省尚义县第一中学高二期中）如图，空间四边形中，，，分别是，，的中点，下列结论正确的是（    ）

A． B．平面

C．平面 D．，是一对相交直线

【答案】BC

【解析】A：点平面，点直线，点平面，由异面直线的定义可知，是异面直线，A错；

B：，由直线与平面平行的判定定理可得平面，答案B对；

C：，由直线与平面平行的判定定理可得平面，答案C对；

D：点平面，点直线，点平面，由异面直线的定义可知，是异面直线，D错；故选：BC.

8．（2020·北京四中高二期中）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】A中如下图，由中位线定理，而，从而，平面，有线面平行；

B中，如下图，，在平面上，与显然相交，因此与平面相交，不平行．

C中，如下图，是所在棱中点，则，即平面，而在底面上，直线与直线相交，与平面相交，不平行．

D中，如下图，由中位线定理，而，从而，平面，有线面平行；

故选：BC．

三、填空题

9．（2020·湖北武汉市·高二期中）如图，在正方体中，点，，分别是，，的中点，给出下列5个推断：

①平面；    ②平面；

③平面；        ④平面平面；

⑤平面平面.

其中推断正确的序号是_________.

【答案】①③⑤

【解析】对于①，可知在正方体中，平面平面，且平面，平面，故①正确；

对于②，，是，的中点，，与平面相交，故与平面不平行，故②错误；

对于③， ，是，的中点，，平面，平面，平面，故③正确；

对于④，由②得与平面不平行，则平面与平面不平行，故④错误；

对于⑤，由①得，平面，平面，平面，由③得，平面，平面，平面，，平面平面，故⑤正确.

故答案为：①③⑤.

10．（2020·安徽黄山市·屯溪一中高二期中）如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是_________.

【答案】

【解析】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，

因为为所在棱的中点，所以，所以，

又平面平面，所以平面；

因为，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面，

因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，

在直角中，，

同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，

当在中点时，，此时最短，位于处时最长，

，，

所以线段长度的取值范围是.故答案为：.

11．（2020·北京四中高二期中）设、是直线，、、为平面，有如下命题：

①，；

②内有不共线三点到距离相等，则；

③，，，；

④若、异面，，且，，则；

其中正确命题的序号有______．

【答案】④

【解析】①中，正方体一个顶点相邻的三个平面，满足两个平面垂直第三个平面，但是这两个平面不平行，故错误；

②中，两个平面相交时，也可以在一个平面找到不共线的三点到另一个平面的距离相等，故错误；

③中，直线，，，，若两直线平行，两平面也可能相交，故错误；

④中，如图所示，、异面，，， ，过直线a的平面与的交线，且必然与b相交，设交于，同理，由知，过直线b的平面与的交线，且必然与b相交，设交于，因此，，且，均在内，故.故正确.

故答案为：④.

四、双空题

12．（2020·全国高一专题练习）如图，在正方体中，是的中点，则直线与平面的位置关系是_______；直线与平面的位置关系是_______.

【答案】相交    平行   

【解析】在平面中，四边形是梯形，且、是两腰，则直线与直线相交，所以，直线与平面相交；

在正方体中，平面平面，平面，

平面.

故答案为相交；平行.

五、解答题

13．（2020·山西吕梁市·高二期中）在三棱柱中，平面分别是的中点，．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）在中，因为分别是的中点，可得，

又由平面，平面，所以平面．

（2）由题意可得，

所以，所以，所以，

可得，

易知点到平面的距离为，

设点到平面的距离为，

由，可得，解得．

所以点到平面的距离为．

14．（2020·全国高三专题练习（文））如图，在直三棱柱中，，，，，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：取的中点为，分别连接，.

又∵为线段的中点，∴，且.

∵，据三棱柱的性质知，，，

∴，且，

∴四边形为平行四边形，

∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）据题设知，，

∵.

又∵，

∴，

∴三棱锥的体积.

15．（2020·山西高二期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，为圆锥底面的两条直径，为母线上一点，连接，，．

（1）若为的中点，证明：平面；

（2）若平面，证明：为的中点．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）若为的中点，由为圆锥底面的直径，有为的中点．

则在中有，

又平面，平面，

则有平面；

（2）若平面，由平面，平面平面，

有，

所以在中，，

又为的中点，则有，

则有为的中点．

16．（2020·武汉市第一中学高三月考（文））如图所示，多面体中，四边形为菱形，，平面平面，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求多面体的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）∵四边形是菱形，∴．

又∵平面，平面，∴平面．

同理得，平面．

∵，平面，且，

∴平面平面；

（2）∵，，∴．

∵，，∴．

在菱形中，．

∵平面平面，取的中点为，连接，，

∴平面，平面 ，

由（1）知，平面平面，

∴点到平面的距离为．

又∵点到平面的距离为，连接，

则．