高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）当堂达标检测题

3.4　函数的应用(一)

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2021浙江义乌高一期末)用一段长为50 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙a长25 m.当这个矩形菜园ABCD的宽(矩形的较短边)为(　　)时,围成的矩形菜园ABCD的面积最大?

A. B. C.10 D.15

答案B

解析设矩形的宽为x米,矩形的面积为S,则由题意可得矩形的长为50-2x,则0<x<25,所以矩形的面积为S=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5.因为0<x<25,所以当x=时,矩形面积取得最大值,故选B.

2.(多选题)(2021江苏常州高一期末)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行价就减少5 000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为(　　)

A.2.5元 B.3元 

C.3.2元 D.3.5元

答案BC

解析设杂志的定价为x元,总销售收入为y元,根据题意可得y=x100000-×5000=-25000x2+150000x,当销售收入不少于22.4万元时,-25000x2+150000x≥224000,解得2.8≤x≤3.2,故选BC.

3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是              (　　)

A.升高7.84% B.降低7.84%

C.降低9.5% D.不增不减

答案B

解析设该商品原价为a,四年后的价格为a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.9216a.∴(1-0.9216)a=0.0784a=7.84%a,即比原来降低7.84%.

4.(2021北京房山高一期中)为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为　　　　　千瓦时. 

答案580

解析设用电量为x千瓦时,电费y元,

y=

若y=360时,当0≤x≤240时,则0.5x=360,解得x=720∉[0,240],不满足题意;

当240<x≤400时,则0.6(x-240)+120=360,

解得x=640∉(240,400],不满足题意;

当x>400时,则0.8(x-400)+216=360,

解得x=580∈(400,+∞),满足题意.

故该户居民10月份的用电量为580千瓦时.

5.(2020山东潍坊高一检测)某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加1单位,成本增加1万元,又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)=4Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是　　　　　万元,这时产品的生产数量为　　　　　.(总利润=总收入-成本) 

答案250　300

解析由题意可得L(Q)=4Q-Q2-(200+Q)=-(Q-300)2+250,则当Q=300时,总利润L(Q)取得最大值250万元.

6.某辆汽车以x千米/时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为x-100+升.

(1)欲使每小时的油耗不超过9升,求x的取值范围;

(2)求该汽车行驶100千米的油耗y关于汽车行驶速度x的函数,并求y的最小值.

解(1)由题意,令×x-100+≤9,

化简得x2-145x+4500≤0,解得45≤x≤100;

又因为60≤x≤120,所以欲使每小时的油耗不超过9升,x的取值范围是[60,100].

(2)设该汽车行驶100千米的油耗为y.

则y=x-100+=900002+,其中60≤x≤120.

由60≤x≤120,知∈,所以x=90时,汽车行驶100千米的油耗取得最小值为升.

等级考提升练

7.(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位:km)与时间x(单位:min)的关系,下列结论正确的是(　　)

A.甲同学从家出发到公园的时间是30 min

B.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢

C.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=x

D.当30≤x≤60时,y与x的关系式为y=x-2

答案ABC

解析由题中图象知,A正确;

甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,B正确;

当0≤x≤30时,设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=,C正确;当30≤x≤40时,题中图象是平行于x轴的线段,D错误.

8.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是(　　)

A.出租车行驶2 km,乘客需付费8元

B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元

C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用

D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km

答案BCD

解析在A中,出租车行驶2km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,A错误;

在B中,出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;

在C中,乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;

在D中,设出租车行驶xkm时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.

9.(多选题)(2021广州越秀高一期末)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站10 km处建仓库,则y1为1万元,y2为4万元,下列结论正确的是(　　)

A.y1= B.y2=0.4x

C.y1+y2有最小值4 D.y1-y2无最小值

答案BCD

解析依题意设y1=,y2=k2x,k1≠0,k2≠0,x>0,

∵在距离车站10km处建仓库,则y1为1万元,y2为4万元,∴=1,10k2=4,解得k1=10,k2=0.4.

∴y1=,y2=0.4x,x>0,

∴y1+y2=+0.4x≥2=4,当且仅当=0.4x,即x=5时,等号成立,所以选项B,C正确,选项A错误;

∵y1-y2=-0.4x在(0,+∞)上单调递减,

∴y1-y2无最小值,选项D正确,故选BCD.

10.(2021江苏南通高一期末)某山区盛产苹果、梨子、猕猴桃,并对生产的水果进行线上销售,销售方案如下:若一次购买水果总价不低于200元,则顾客少付款m元,每次订单付款成功后,农民会收到支付款的80%,在销售活动中,为了使得农民收入不低于总价的70%,则m的最大值为　　　　　. 

答案25

解析设每笔订单的总价为x元,根据题意有(x-m)×80%≥x×70%,即m≤恒成立,由题意得x≥200,所以=25,所以m≤25,所以m的最大值为25.

11.(2021江苏常州高二期中)为了响应国家节能减排的号召,2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析:全年需投入固定成本2 500万元.每生产x(单位:百辆)新能源汽车,需另投入成本C(x)万元,且C(x)=由市场调研知,每辆车售价9万元,且生产的车辆当年能全部销售完.

(1)请写出2020年的利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式;(利润=销售-成本)

(2)当2020年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.

解(1)当0<x<40时,L(x)=9×100x-10x2-500x-2500=-10x2+400x-2500;

当x≥40时,L(x)=9×100x-901x-+4300-2500=1800-x+.

所以L(x)=

(2)当0<x<40时,L(x)=-10(x-20)2+1500,

当x=20时,L(x)max=1500.

当x≥40时,L(x)max=1800-x+≤1800-2=1800-200=1600,

当且仅当x=,即x=100时,等号成立.

因为1600>1500,

所以当x=100时,即2020年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1600万元.

新情境创新练

12.

如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是(　　)

答案A

解析依题意,当0<x≤1时,S△APM=×1×x=x;当1<x≤2时,S△APM=S梯形ABCM-S△ABP-S△PCM=×1-×1×(x-1)-×(2-x)=-x+;

当2<x≤时,S△APM=S梯形ABCM-S梯形ABCP

=×1-×(1+x-2)×1

=x+=-x+.

∴y=f(x)=

再结合题图知应选A.

13.(2020河南实验中学高二期中)某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10a-万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?

(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?

解(1)由题意,得10(1000-x)(1+0.2x%)≥10×1000,即x2-500x≤0,又x>0,所以0<x≤500,

即最多调整500名员工从事第三产业.

(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10a-x万元,从事原来产业的员工的年总利润为10(1000-x)1+x万元,

则10a-x≤10(1000-x)1+x,

所以ax-≤1000+2x-x-x2,

所以ax≤+1000+x,即a≤+1在x∈(0,500]时恒成立.则≥2=4,

当且仅当,即x=500时,等号成立,所以a≤5.又a>0,所以0<a≤5.

所以a的取值范围为(0,5].