高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）当堂达标检测题

3.4　函数的应用(一)

课后训练巩固提升

1.从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精,然后用水加满,再倒出1 L酒精溶液,再用水加满,照这样的方法继续下去,如果倒第k次时共倒出纯酒精x L,倒第(k+1)次时共倒出纯酒精f(x) L,则f(x)的解析式是(　　)

A.f(x)=x+1 B.f(x)=x+1

C.f(x)=(x+1) D.f(x)=x

解析:因为倒第k次时共倒出纯酒精xL,所以第k次后容器中含纯酒精(20-x)L,第(k+1)次倒出的纯酒精是L,故f(x)=x+x+1.

答案:A

2.某商品的进货价为每件40元,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,若该商品的单价每提高1元,则该商品一个月的销售量就会减少10件,为使销售该商品的月利润最高,商店应将每件商品定价为              (　　)

A.45元 B.55元 C.65元 D.70元

解析:设在50元的基础上提高x元,x∈N,每月的月利润为y,则y与x的函数解析式为y=(500-10x)·(50+x-40)=-10x2+400x+5000,x∈N,其图象的对称轴为直线x=20,故每件商品的定价为70元时,月利润最高.

答案:D

3.在本埠投寄平信,每封信不超过20 g时付邮费0.80元,超过20 g而不超过40 g时付邮费1.60元,以此类推,每增加20 g须增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内).如果某人所寄一封信的质量为72.5 g,那么他应付邮费              (　　)

A.2.4元 B.2.8元

C.3元 D.3.2元

解析:函数的解析式为f(x)=

由72.5∈(60,80]可得应付邮费3.20元.

答案:D

4.一批商品按期望获得50%的利润定价,结果只销售出70%的商品,为了尽早销售完剩下的商品,商场决定按定价打折出售,这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%,则应打的折数是(　　)

A.六折 B.七折

C.八折 D.九折

解析:设商品的成本价为a,商品打x折,

由题意,得×30%=0.5a×82%-0.5a×70%,解得x=8.即商品打八折.

答案:C

5.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为(　　)

解析:当0≤t≤1时,f(t)=t·2t=t2,当1<t≤2时,f(t)=×1×2+(t-1)×2=2t-1,故在t∈[0,1]时图象是抛物线的一部分,在t∈(1,2]时图象是一条线段,故选C.

答案:C

6.将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是　　　　　. 

解析:设梯形的上底长是xm,则下底长是1m,

根据题意,得S(x)=(0<x<1),

令3-x=t,则t∈(2,3),,

则S=,

故当,即x=时,S有最小值,最小值是.

答案:

7.个人稿费的纳税办法是:不超过800元的不纳税,超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿费的12%纳税,已知某人出版一本书,共纳税420元,这个人应得稿费为　　　　　(扣税前). 

解析:纳税y元与稿费x元的函数解析式是y=

已知y=420得x=3800.

答案:3 800元

8.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知在装有一定量水的洗衣机中投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液时,它在水中释放的浓度y(单位:克/升)随着时间x(单位:分钟)变化的函数解析式近似为y=k·f(x),其中f(x)=若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.

(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,当2分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;

(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?

(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.

解:(1)由题意知,k=3,解得k=1.

(2)因为k=4,所以y=

当0≤x≤4时,由-4≥4,

解得-4≤x<8,所以0≤x≤4.

当4<x≤14时,由28-2x≥4,

解得x≤12,所以4<x≤12.

综上,当y≥4时,0≤x≤12.

所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.

(3)能.理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×+1×=5(克/升),又因为5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.

9.在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x>0)报警系统装置的收益函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元).

(1)求生产x台报警系统装置的利润函数P(x)及MP(x);(提示:利润是收益与成本之差)

(2)利润函数P(x)及MP(x)是否具有最大值?最大值是多少?MP(x)取得最大值时的实际意义是什么?

解:(1)由题意,得P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,其中x∈[1,100],且x∈N*,

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x,其中x∈[1,100],且x∈N*.

(2)由(1)知P(x)=-20x2+2500x-4000=-20+74125.

由x∈N*,知当x=62或63时,P(x)有最大值,P(x)max=74120.

由(1)知MP(x)=2480-40x,该函数是减函数,所以随着产量的增加,每台报警系统装置与前一台相比较,利润在减小,故当x=1时,MP(x)取得最大值,最大值为2440.

MP(x)取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统装置与生产第1台的总利润差最大.