数学必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试同步达标检测题

习题课　单调性与奇偶性的综合应用

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2020浙江嘉兴七校高一联考)下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上为增函数的是(　　)

A.y=x2 B.y=

C.y=x+ D.y=x-

答案D

解析y=x2为偶函数,不符合条件;

y=f(x)==1-为非奇非偶函数,不符合题意;

y=x+为奇函数,但在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,不符合题意;

y=x-,f(-x)=-x+=-f(x),为奇函数,而y=x-在(0,+∞)上单调递增,故选D.

2.(2020海南东方民族中学高一联考)f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是(　　)

A.f(0)<f(6) B.f(3)>f(2)

C.f(-1)<f(3) D.f(2)>f(0)

答案C

解析∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(-1),

又f(3)>f(1),故f(3)>f(-1).故选C.

3.(2020黑龙江哈师大附中高一月考)偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(　　)

A.f(-1)>f(2)>f(-3) 

B.f(2)>f(-1)>f(-3)

C.f(-3)>f(-1)>f(2) 

D.f(-1)>f(-3)>f(2)

答案A

解析由y=f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),又因为函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f(2)>f(3),即f(-1)>f(2)>f(-3),故选A.

4.(2021安徽合肥一六八中学高一期末)若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上 (　　)

A.单调递增,且有最小值为f(1)

B.单调递增,且有最大值为f(1)

C.单调递减,且有最小值为f(2)

D.单调递减,且有最大值为f(2)

答案C

解析根据奇函数的图象关于原点对称,所以其在y轴两侧单调性相同,因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.

5.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是　　　　　. 

答案[0,+∞)

解析利用函数f(x)是偶函数,得k-1=0,k=1,

所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).

6.(2021安徽宿州高一期末)已知奇函数f(x)在定义域R上是增函数,则不等式f(4x-3x2)+f(7)>0的解集是　　　　　. 

答案x-1<x<

解析∵f(4x-3x2)+f(7)>0,

∴f(4x-3x2)>-f(7).

又f(x)为定义域R上的奇函数,

∴f(4x-3x2)>f(-7).

∵f(x)在定义域R上是增函数,

∴4x-3x2>-7,解得-1<x<,

故原不等式的解集为x-1<x<.

7.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:

①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数.

若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.

解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1),

∴f(1-a)+f(1-a2)<0,

则f(1-a)<-f(1-a2),即f(1-a)<f(a2-1).

∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,

∴解得0<a<1,

故实数a的取值范围为(0,1).

等级考提升练

8.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-),f()的大小关系为(　　)

A.f()>f(-)>f(-1)

B.f()<f(-)<f(-1)

C.f(-)<f()<f(-1)

D.f(-1)<f()<f(-)

答案B

解析∵函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,

∴f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3,∴m=0,即f(x)=-x2+3.

∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,

∴f(-1)>f(-)>f(-)=f().

即f()<f(-)<f(-1),故选B.

9.(2021上海大同中学高一期末)设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且f(x)在[0,1)上单调递减,f-=1,则f(x)<1的解集为(　　)

A.,1 B.-1,-

C.-1,-∪,1 D.-1,-∪,1

答案C

解析∵f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,

∴f=f-=1,

则不等式f(x)<1为f(x)<f,则f(|x|)<f.

∵f(x)在[0,1)上单调递减,

∴|x|>,解得x<-或x>.

又定义域为(-1,1),故不等式的解集为-1,-∪,1.故选C.

10.(多选题)(2020江苏高一期末)关于函数y=f(x),y=g(x),下述结论正确的是(　　)

A.若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0

B.若y=f(x)是偶函数,则y=|f(x)|也是偶函数

C.若y=f(x)(x∈R)满足f(1)<f(2),则f(x)在区间[1,2]上单调递增

D.若y=f(x),y=g(x)均为R上的增函数,则y=f(x)+g(x)也是R上的增函数

答案BD

解析若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0,当定义域不包含0时不成立,故A错误;若y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x),故|f(x)|=|f(-x)|,y=|f(x)|也是偶函数,B正确;举反例:f(x)=满足f(1)<f(2),在[1,2]上不单调递增,故C错误;设x1<x2,则[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)]=[f(x2)-f(x1)]+[g(x2)-g(x1)]>0,故y=f(x)+g(x)也是R上的增函数,故D正确.

11.(多选题)(2021浙江五湖联盟高一期中)关于函数g(x)=,下列结论正确的是(　　)

A.g(x)的图象过原点

B.g(x)是奇函数

C.g(x)在区间(1,+∞)上单调递增

D.g(x)是定义域上的增函数

答案AC

解析函数g(x)=,则有g(0)=0,则函数g(x)的图象经过原点,A正确;

函数g(x)=,其定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,既不是奇函数又不是偶函数,B错误;

函数g(x)==-=-2-,函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,C正确;

函数g(x)=,有g(0)=0,g(2)=-4,g(x)不是定义域上的增函数,D错误.

故选AC.

12.

已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是　　　　　. 

答案{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}

解析不等式<0可化为f(x)g(x)<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,∴f(x)g(x)是奇函数,

∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).

综上,不等式<0的解集是{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}.

13.(2021江苏扬州高一期末)已知函数f(x)=x|x|,则满足f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是　　　　　.(用区间表示) 

答案,+∞

解析由题意f(x)=x|x|,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.

又f(x)=x|x|=所以函数f(x)在R上单调递增,则f(x)+f(3x-2)≥0,即f(x)≥-f(3x-2)=f(-3x+2),又函数单调递增,所以x≥-3x+2,解得x≥.

14.已知函数f(x)=是奇函数.

(1)求实数m的值;

(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.

解(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),即1-m=-(-1+2),解得m=2.经检验当m=2时函数f(x)是奇函数.所以m=2.

(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].

新情境创新练

15.(2021吉林长春八中高一期末)已知函数f(x+1)为偶函数,f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则满足不等式f(2x-1)>f(3x)的x的解集是(　　)

A.-1, 

B.(-∞,-1)∪,+∞

C.(-∞,-1)∪,+∞ 

D.-1,

答案A

解析因为函数f(x+1)为偶函数,所以y=f(x+1)的图象关于y轴对称.

因为y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x)的图象,

则y=f(x)的图象关于直线x=1对称,

又因为f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,

所以f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,所以f(x)的函数值越大,自变量与1的距离越大,

f(x)的函数值越小,自变量与1的距离越小,所以不等式f(2x-1)>f(3x)等价于|2x-2|>|3x-1|,两边平方(2x-2)2>(3x-1)2,则(5x-3)(x+1)<0,

解得-1<x<,

即不等式的解集为-1,.故选A.