高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步训练题

第三章函数的概念与性质

3.1　函数的概念及其表示

3.1.1　函数的概念

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.函数f(x)=的定义域是(　　)

A.[-1,1) B.[-1,1)∪(1,+∞)

C.[-1,+∞) D.(1,+∞)

答案B

解析由解得x≥-1,且x≠1.

2.下列四个函数:①y=x+1;②y=x-1;③y=x2-1;④y=,其中定义域与值域相同的是(　　)

A.①②③ B.①②④

C.②③ D.②③④

答案B

解析①y=x+1,定义域为R,值域为R,②y=x-1,定义域为R,值域为R,③y=x2-1,定义域为R,值域为[-1,+∞),④y=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故①②④的定义域与值域相同.

3.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是(　　)

A.[0,1)∪(1,2] B.[0,1)∪(1,4]

C.[0,1) D.(1,4]

答案C

解析由题意,得即0≤x<1.

4.下列关于x,y的关系式中,y可以表示为x的函数关系式的是(　　)

A.x2+y2=1 B.|x|+|y|=1

C.x3+y2=1 D.x2+y3=1

答案D

解析根据函数的定义,函数关系中任意一个x都有唯一的y对应,

选项A,B,C的关于x,y的关系式中,一个x都有两个y与之对应,不能构成函数关系,选项D中的任意一个x都有唯一的y对应,能构成函数关系.故选D.

5.(2021广州广雅中学高一期末)下列四组函数中,表示同一个函数的一组是(　　)

A.y=|x|,u= 

B.y=,s=()2

C.y=,m=n+1 

D.y=,y=

答案A

解析对于A,y=|x|和u==|v|的定义域都是R,对应关系也相同,因此是同一个函数;

对于B,y=的定义域为R,s=()2的定义域为{t|t≥0},两函数定义域不同,因此不是同一个函数;

对于C,y=的定义域为{x|x≠1},m=n+1的定义域为R,两函数定义域不同,因此不是同一个函数;

对于D,y=的定义域为{x|x≥1},y=的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},定义域不同,不是同一个函数.故选A.

6.函数y=的值域为　　　　　. 

答案

解析∵x2+x+1=,

∴0<.∴值域为.

7.若函数f(x)=ax2-1,a为正常数,且f(f(-1))=-1,则a的值是　　　　　. 

答案1

解析∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.∴a3-2a2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).故a=1.

8.已知函数f(x)=.

(1)求f(x)的定义域;

(2)若f(a)=2,求a的值;

(3)求证:f=-f(x).

(1)解要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.

(2)解因为f(x)=,且f(a)=2,

所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.

(3)证明由已知得f,

-f(x)=-,所以f=-f(x).

等级考提升练

9.(2020浙江温州四校高一期中)设f(x)=1+,x≠±1,则f(-x)等于(　　)

A.f(x) B.-f(x) C.- D.

答案D

解析f(x)=1+,则f(-x)=,故选D.

10.(2021黑龙江绥化高一期末)函数y=的值域是 (　　)

A.- B.0,

C.[0,1] D.[0,+∞)

答案B

解析由题得,y=.

∵0≤-2+,

∴0≤y≤,即原函数的值域为0,.故选B.

11.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:

①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}.

那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有(　　)

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

答案C

解析函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的孪生函数,分别为①y=2x2+1,x∈{0,};②y=2x2+1,x∈{0,-};③y=2x2+1,x∈{0,,-},共3个,故选C.

12.(多选题)(2021浙江东阳高一期中)下列函数中,值域为[0,4]的是(　　)

A.f(x)=x-1,x∈[1,5]

B.f(x)=-x2+4

C.f(x)=

D.f(x)=x+-2(x>0)

答案AC

解析x∈[1,5]时,x-1∈[0,4],所以函数f(x)=x-1,x∈[1,5]的值域是[0,4],故A正确;因为-x2≤0,所以-x2+4≤4,所以函数值域是(-∞,4],故B错误;因为-x2≤0,所以16-x2≤16,又16-x2≥0,所以0≤≤4,即函数值域为[0,4],故C正确;因为x>0,所以x+≥2,所以x+-2≥0,故函数值域为[0,+∞),故D错误.故选AC.

13.已知函数f(x)=4-2x的值域为[-2,10],则函数的定义域为　　　　　. 

答案[-3,3]

解析由函数的值域为[-2,10]可知,-2≤4-2x≤10,解得-3≤x≤3,因此函数的定义域为[-3,3].

14.已知函数f(x)=x2-2x,x∈[0,b],且该函数的值域为[-1,3],则b的值为　　　　　. 

答案3

解析作出函数f(x)=x2-2x(x≥0)的图象如图所示.

由图象结合值域[-1,3]可知,区间右端点b必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以f(b)=3,即b2-2b=3,解得b=-1或b=3.

又-1∉[0,b],所以b=3.

15.已知函数f(x)=.

(1)求f(1),f(2)+f的值;

(2)证明:f(x)+f等于定值.

(1)解f(1)=;f(2)=,f,所以f(2)+f=1.

(2)证明f,

所以f(x)+f=1,为定值.

16.(2021湖南长沙一中高一月考)函数f(x)=.

(1)若f(x)的定义域为R,求k的取值范围;

(2)当k=-1时,求f(x)的值域.

解(1)由题意得,2kx2+kx+>0对x∈R恒成立,

当k=0时,满足题意;

当k≠0时,则解得0<k<3,

综上可知,k的取值范围为[0,3).

(2)k=-1时,令y=-2x2-x+=-2x+2+.故0<,则f(x)的值域为[,+∞).

新情境创新练

17.(2020江西上饶高一检测)已知函数f(x)=x2+2ax+3a+2.

(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),求a的值;

(2)若函数f(x)的函数值均为非负实数,求g(a)=2-a|a+3|的值域.

解(1)∵函数值域为[0,+∞),∴Δ=(2a)2-4(3a+2)=0,解得a=-或a=2.

(2)∵对一切实数x,f(x)的函数值均为非负实数,∴Δ=(2a)2-4(3a+2)≤0,解得-≤a≤2,

∴a+3>0,∴g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-a+2+-≤a≤2.∵抛物线g(a)开口向下,对称轴为a=-,

∴g(2)≤g(a)≤g,即-8≤g(a)≤.

∴g(a)的值域为.