高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词课时练习

1．5　全称量词与存在量词

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列命题中全称量词命题的个数为(　C　)

①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．

A．0　　　 B．1　　　

C．2　　　 D．3

[解析]　①②是全称量词命题，③是存在量词命题．

2．下列命题中，既是真命题又是存在量词命题的是(　A　)

A．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0

B．存在实数x0，使sin x0＝

C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D．对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1

[解析]　选项A，B为存在量词命题，故排除C，D．因>1，则不存在实数x0，使sin x0＝，故排除B，故选A．

3．已知命题p：∃x0∈R，x＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　A　)

A．[0，4]  B．(0，4)

C．(－∞，0)∪(4，＋∞)  D．(－∞，0)∪(4，＋∞)

[解析]　假设p为真，

Δ＝a2－4a>0，

即a>4或a<0，

∵p为假，∴0≤a≤4，

∴实数a的取值范围[0，4]．

二、填空题

4．下列存在量词命题是真命题的序号是__①③④__．

①有些不相似的三角形面积相等；

②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；

③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；

④有一个实数的倒数是它本身．

[解析]　①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④．

三、解答题

5．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假．

(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；

(2)存在一条直线，其斜率不存在；

(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；

(4)存在实数x0，使得＝2．

[解析]　(1)是全称量词命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题．

(2)是存在量词命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．

(3)是全称量词命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．

(4)是存在量词命题，用符号表示为“∃x0∈R，＝2”，是假命题．

B级　素养提升

一、选择题

1．下列命题中，真命题是(　C　)

A．∀x∈R，x2≥x

B．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题

C．∃x0∈R，x≥x0

D．命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题

[解析]　∵x2－x≥0的解为x≤0或x≥1，∴存在x0∈{x|x≤0或x≥1}，使x≥x0，故C为真命题．

2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　C　)

A．∃x0∈R，f(x0)≤f(x1)  B．∃x0∈R，f(x0)≥f(x1)

C．∀x∈R，f(x)≤f(x1)  D．∀x∈R，f(x)≥f(x1)

[解析]　a>0，f(x)＝ax2＋bx＋c为开口向上的二次函数，∴f(x)min＝f(－)，

即∀x∈R，f(x)≥f(－)＝f(x1)，

∴C为假命题．

3．下列四个命题中，真命题是(　B　)

A．∀x∈R，x＋≥2  B．∃x0∈R，x0＋≥2

C．∃x0∈R，|x0＋1|<0  D．∀x∈R，|x＋1|>0

[解析]　A中当x≤0时不成立．

C中|x0＋1|≥0，D中|x＋1|≥0恒成立，故选B．

4．下列存在量词命题中，是假命题的是(　C　)

A．∃x0∈Z，x－2x0－3＝0

B．至少有一个x0∈Z，使x0能同时被2和3整除

C．有的直线不存在倾斜角

D．某些直线不存在斜率

[解析]　所有直线都存在倾斜角．

5．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　C　)

A．a≥4  B．a≤4

C．a≥5  D．a≤5

[解析]　x2－a≤0，∀x∈[1，2]恒成立，

则a≥x2在x∈[1，2]恒成立，

令g(x)＝x2，g(x)max＝4，

∴a≥4，

a≥5⇒a≥4且a≥4 a≥5，

∴a≥5是一个充分不必要条件，故选C．

6．下列命题中正确的是(　C　)

A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

B．若直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋2＝0平行，则a＝1

C．若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是a<－1或a>3

D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x”≠2，则x2－3x＋2≠0

[解析]　对选项A中，p∨q为真命题，则p，q至少有一真，所以p∧q可能为假命题，故A错；对选项B中，当a＝－1时，两直线也平行，故B错，对选项D的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0．”故选C．

二、解答题

7．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．

(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立．

(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解．

(3)一定有整数x0，y0，使得3x0－2y0＝10成立．

(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．

[解析]　(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；真命题．

(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．

(3)∃x0，y0∈Z，3x0－2y0＝10；真命题．

(4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．

8．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

[解析]　由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立．所以a≤1．若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2．

∵p真q真，∴⇒a＝1或a≤－2，

综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1．