高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词练习，共5页。

1．若命题p：∃x∈R，x2＋x＋1＜0，则¬p为( )
A．∀x∈R，x2＋x＋1＜0
B．∀x∈R，x2＋x＋1＞0
C．∀x∈R，x2＋x＋1≥0
D．∃x∈R，x2＋x＋1≥0
解析：选C．命题是存在量词命题，则命题的否定是∀x∈R，x2＋x＋1≥0.故选C．
2．已知命题p：∀x∈N*，总有(x－1)2＞0，则¬p为( )
A．∃x∉N*，使得(x－1)2≤0
B．∃x∈N*，使得(x－1)2≤0
C．∀x∉N*，都有(x－1)2≤0
D．∀x∈N*，都有(x－1)2≤0
解析：选B．命题p：∀x∈N*，总有(x－1)2＞0的否定为：∃x∈N*，使得(x－1)2≤0.故选B．
3．对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是( )
A．所有学生都不会做第1题
B．存在一个学生不会做第1题
C．存在一个学生会做第1题
D．至少有一个学生会做第1题
解析：选B．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题．故选B．
4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A．∀x∈R，|x|＞0
B．∃x∈R，|x|＞0
C．∀x∈R，|x|≤0
D．∃x∈R，|x|≤0
解析：选C．由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论．故选C．
5．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
解析：选C．全称量词命题的否定是存在量词命题，而A，B是全称量词命题，所以A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以D错误，C正确．故选C．
6．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2＜0，则命题p的否定为________．
解析：命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“∀x∈R，x2＋3x＋2≥0”．
答案：∀x∈R，x2＋3x＋2≥0
7．命题“∃x∈R，x2＋2x＋1＝0”的否定是________命题(填“真”或“假”).
解析：由x2＋2x＋1＝0得(x＋1)2＝0，所以x＝－1.则命题“∃x∈R，x2＋2x＋1＝0”是真命题，则该命题的否定是假命题．
答案：假
8．若命题“存在x＜2 021，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由于命题“存在x＜2 021，x＞a”是假命题，因此其命题的否定“对任意x＜2 021，x≤a”是真命题．所以a≥2 021.
答案：a≥2 021
9．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x－3＞x；
(3)∀x∈R，有x＋1＝2x.
解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5＞2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
10．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．
(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(4)∃x＞1，x2－2x－3＝0.
解：(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．
(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．
(3)这个命题的否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，因为末位数字是0或5的整数都能被5整除，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．
(4)这个命题的否定为“∀x＞1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．
[B 能力提升]
11．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )
A．∃x∈R，x2－x＋ eq \f(1,4)＜0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析：选AC．由条件可知，原命题为存在量词命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋ eq \f(1,4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以A，C均为假命题．故选AC．
12．(多选)下列说法正确的是( )
A．命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2＜－1”
B．命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9”
C．“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件
D．“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件
解析：选BD．命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9”，B正确；x2＞y2⇔|x|＞|y|，|x|＞|y|不能推出x＞y，x＞y也不能推出|x|＞|y|，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－4m＞0，,m＜0))⇔m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确．故选BD．
13．已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是( )
A．{a|a＜－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a＞1} D．{a|a≤－1}
解析：选B．因为p为假命题．所以¬p为真命题，即：∀x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.故选B．
14．命题“∀x∈R，x2－2ax＋1＞0”是假命题，求实数a的取值范围________．
解析：由题意，命题∀x∈R，x2－2ax＋1＞0是假命题，可得出二次函数y＝x2－2ax＋1与x轴有交点，又由二次函数的性质，可得Δ≥0，即4a2－4≥0，解得a≤－1或a≥1.
故实数a的取值范围为a≤－1或a≥1.
答案：a≤－1或a≥1
[C 拓展探究]
15．在平面直角坐标系xOy中，设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从Ω中的任意点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为Mp，Np.所有点Mp构成的集合为M，M中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为x(Ω)；所有点Np构成的集合为N，N中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为y(Ω).给出以下命题：
①x(Ω)的最大值为 eq \r(2)；
②2≤x(Ω)＋y(Ω)≤2 eq \r(2)；
③x(Ω)－y(Ω)恒等于0.
其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选D．由题意，根据正方形的对称性，设正方形的初始位置为正方形OABC，画出图形，如右图所示，
正方形的边长为1，所以正方形的对角线长为 eq \r(2).
当正方形OABC绕O顺时针旋转时，可以发现当对角线OB在x轴时，如图所示，x(Ω)的最大值为 eq \r(2)，故结论①正确；此时，x(Ω)，y(Ω)都有最大值 eq \r(2)，所以x(Ω)＋y(Ω)有最大值2 eq \r(2).当正方形OABC绕O顺时针旋转时，当正方形有一边在x轴时，x(Ω)，y(Ω)都有最小值为1，所以x(Ω)＋y(Ω)有最小值为2，故结论②正确；
又因为在旋转过程中(以旋转的角θ∈[0°，45°]为例)，x(Ω)＝ eq \r(2)cs (45°－θ)，y(Ω)＝ eq \r(2)cs (45°－θ)，所以x(Ω)＝y(Ω)，所以x(Ω)－y(Ω)恒等于0，故结论③正确．