高中数学人教A版必修第一册4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质课时作业含解析，


[对应学生用书P64]
知识点1 对数函数的图象和性质
[微思考]
对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降；当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0[微体验]
1．思考辨析
(1)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( )
(2)对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)当a＞1时，若0＜x＜1，则lgax＜0.( )
(4)函数y＝ eq lg\s\d8(\f(1,a)) x与y＝lgax(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝lga(x－5)＋2的图象恒过定点________．
解析：无论a为何值时，lga1恒为零，故当x＝6时，y的值恒为2，故恒过定点(6,2)．
答案 (6,2)
3．若函数f(x)＝lg(a＋1)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________．[来源:学_科_网]
解析 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a＋1>1，即a>0.
答案 a>0
知识点2 反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换．
[对应学生用书P65]
探究一 对数函数的图象
(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
(2)已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
(1) C [∵a>1，∴0(2)解 因为f(－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝lga|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg5x，x＞0，,lg5－x，x＜0.))所以函数y＝lg5|x|的图象如图所示．
[变式探究1] 把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝lgax”改为“y＝lga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝lga(－x)的图象可能是( )
C [∵在y＝lga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；当a＞1时，y＝lga(－x)是减函数，y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x是减函数，故排除B；当0＜a＜1时，y＝lga(－x)是增函数，y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x是增函数，∴C满足条件. ]
[变式探究2] 若把本例(2)中的函数改为y＝lg5|x＋1|，请画出它的图象．
解 利用图象变换来解题，画出函数y＝lg5|x|的图象，将函数y＝lg5|x|的图象向左平移1个单位，即可得函数y＝lg5|x＋1|的图象，如图所示．
[方法总结]
(1)作对数函数y＝lgax的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
(2)对数函数图象与直线y＝1的交点的横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大．
(3)对数函数图象性质的助记口诀：
对数增减有思路，函数图象看底数，底数只能大于0，等于1来也不行，底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减，无论函数增和减，图象都过(1,0)点．
[跟踪训练1] 函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
A [f(－x)＝ln((－x)2＋1)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称．又x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，且过点(0,0)，所以A图符合．]
探究二 对数函数实际应用
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))2000(e为自然对数的底)．
(1)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)；
(2)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s.(结果精确到个位，数据：e≈2.718；e4≈54.598，ln 3≈1.099)
解 (1)因为v＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))2 000＝2 000 lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))，
所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
所以当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
(2)因为eq \f(M,m)＝e eq \s\up7(\f(v,2000)) －1，
所以eq \f(M,m)＝e eq \s\up7(\f(8000,2000)) －1＝e4－1≈54.598－1≈54.
所以当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的54倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s.
[方法总结]
解决对数应用题的四个步骤
(1)审题：理解题意，弄清关键字词及字母表示的含义．
(2)建模：根据已知条件，列出关系式．
(3)解模：运用数学知识，解决此问题．
(4)结论：还原实际问题，归纳得结论．
[跟踪训练2] 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．
解 设最初的质量是1.经过x年，剩余量是y，则经过1年，剩余量是y＝0.84；
经过2年，剩余量是y＝0.842；
……
经过x年，剩余量是y＝0.84x.
依题意得0.84x＝0.5，用科学计算器计算：
x＝lg0.840.5＝eq \f(lg 0.5,lg 0.84)≈3.98≈4，
即约经过4年，该物质的剩余量是原来的一半．
[对应学生用书P66]
1．根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
2．对数型函数图象恒过定点问题
解决此类问题的根据是对任意的a>0且a≠1，都有lga1＝0.例如，解答函数y＝m＋lgaf(x)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．
3．解决与对数函数的实际问题时注意用好对数的运算性质．
课时作业(二十六) 对数函数的图象和性质
[见课时作业(二十六)P168]
1．若函数y＝ f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(eq \r(a)，a)，则f(x)等于( )
A． eq lg\s\d8(\f(1,2)) x B．lg2x
C．eq \f(1,2x) D．x2
A [由题意知f(x)＝lgax，又f(eq \r(a))＝a，所以lgaeq \r(a)＝a，所以a＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x.]
2．函数y＝2lg4(1－x)的图象大致是( )
C [函数y＝2lg4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2lg4(1－x)在定义域内单调递减，排除D．]
3．已知f(x)＝a－x，g(x)＝lgax，且f(2)·g(2)>0，则函数f(x)与g(x)的图象是( )
D [因为f(2)·g(2)>0，所以a>1，所以f(x)＝a－x与g(x)＝lgax在其定义域上分别是减函数与增函数．]
4．若函数f(x)＝2lga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是________．
解析 令2－x＝1，得x＝1，y＝3，即图象过定点(1,3)．
答案 (1,3)
5．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝lg3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3从小到大的关系是________．
解析 分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x2＜x3＜x1.
答案 x2＜x3＜x1
6．已知f(x)＝lg3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)解 (1)作出函数y＝lg3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即lg3x＝lg32，解得x＝2.
由图象知：当0所以所求a的取值范围为01．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图所示：其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
D [由f(x)的图象可知02．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)[来源:学.科.网]
B [法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．
法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D．]
3．若lga2＜lgb2＜0，则下列结论正确的是( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
B [∵lga2＜lgb2＜0，如图所示，
∴0＜b＜a＜1.]
4．已知函数y＝| eq lg\s\d8(\f(1,2)) x|的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)， m))，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
解析 作出y＝| eq lg\s\d8(\f(1,2)) x|的图象(如图)，
可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝f(2)＝1，
由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案 [1,2]
5．(拓广探索)已知函数f(x)＝lga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
解 (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点．
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝lga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－lga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即lgaeq \f(x＋1,1－x)≥m.
设F(x)＝lgaeq \f(1＋x,1－x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,1－x)))，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，
∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0即为所求．
课程标准
核心素养
1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点．
2．知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠0).
通过对对数函数图象和性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学建模”及“数学运算”的核心素养.
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0),即x＝1时，y＝0
减函数
增函数