人教A版高中数学必修第一册第5章5-5-1第1课时两角差的余弦公式课时学案

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5.5　三角恒等变换5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时　两角差的余弦公式1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(逻辑推理)2．掌握两角差的余弦公式的应用．(数学运算)观察下表中的数据：从中你能发现cos (α－β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？知识点　两角差的余弦公式公式：cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(1)简记符号：C(α－β)．(2)适用条件：公式中的角α，β是任意角．(1)公式的左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和．可用 “余余正正号相反”记忆公式．(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是角的组合，如cos (α＋β)·cos β＋sin (α＋β)·sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α．当α＝π2，β＝π4时，cos (α－β)＝cos α＋cos β成立．那么当α，β∈R时，cos (α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗？[提示]　不恒成立，如当α＝π3，β＝π6时，cos (α－β)＝32，cos α＋cos β＝1+32．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________．0　[原式＝cos (30°－120°)＝cos (－90°)＝0．] 类型1　给角求值问题【例1】　(1)cos 15°的值是(　　)A．6-22　　B．6+22　　C．6-24　　D．6+24(2)cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)sin (α＋25°)＝________．(1)D　(2)12　[(1)cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6+24．(2)原式＝cos [(α－35°)－(α＋25°)]＝cos (－35°－25°)＝cos (－60°)＝cos 60°＝12．]　利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．[跟进训练]1．求值：(1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；(2)cos(θ＋70°)cos (θ＋10°)＋sin (θ＋70°)sin (θ＋10°)．[解]　(1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°＝sin (90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos (90°－14°)＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°＝cos (44°－14°)＝cos 30°＝32．(2)cos (θ＋70°)cos (θ＋10°)＋sin (θ＋70°)sin (θ＋10°)＝cos [(θ＋70°)－(θ＋10°)]＝cos 60°＝12． 类型2　给值求值问题【例2】　已知sin α＝12，cos (α＋β)＝－35，α，β均为锐角，求cos β的值．思路导引：[解]　因为sin α＝12，且α为锐角，所以cos α＝1-sin2α＝32．由cos (α＋β)＝－35和0<α＋β<180°，得sin (α＋β)＝1-cos2α+β＝45．于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－35×32＋45×12＝4-3310．　给值求值问题的解题策略(1)求解此类问题先要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝α+β2＋α-β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[跟进训练]2．已知sin π3+α＝1213，α∈π6，2π3，求cos α的值．[解]　∵α∈π6，2π3，∴π3＋α∈π2，π，∴cos π3+α＝－1-sin2π3 +α＝－1-12132＝－513．∵α＝π3+α－π3，∴cos α＝cos π3+α-π3＝cos π3+αcos π3＋sin π3+αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123-526． 类型3　给值求角问题【例3】　已知sin α＝437，cos (α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，求角β的大小．[解]　因为sin α＝437，0＜α＜π2，所以cos α＝1-sin2α＝17．因为cos (α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，所以sin (α－β)＝1-cos2α-β＝3314，所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝17×1314＋437×3314＝12．因为0＜β＜π2，所以β＝π3．　已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围：根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限．(3)求角：结合三角函数值及角的范围求角．[跟进训练]3．已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．[解]　∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010，∴sin α＝55，sin β＝31010，∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22．又sin α0，∴β>α，∴β－α＝π3，∴C正确，D错误，故选AC．]13．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝13，则cos (α－β)＝________．－79　[因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sin β＝sin α＝13，cos β＝－cos α，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α＝2sin2α－1＝2×132－1＝－79．]14．已知cos (α－β)＝－45，sin (α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．[解]　∵π2<α－β<π，cos (α－β)＝－45，∴sin (α－β)＝35．∵3π2<α＋β<2π，sin (α＋β)＝－35，∴cos (α＋β)＝45，∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝45×-45+-35×35＝－1．∵π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π2．15．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围．[解]　由sin α＋sin β＝22，平方可得sin2α＋2sinαsin β＋sin2β＝12，①设cos α＋cos β＝m，平方可得cos2α＋2cosαcos β＋cos2β＝m2，②①＋②得2＋2cosαcos β＋2sin αsin β＝12＋m2，即m2＝32＋2cos (α－β)．∵cos (α－β)∈[－1，1]，∴m2∈-12，72，∴0≤m2≤72，∴－142≤m≤142，故cos α＋cos β的取值范围为-142，142．cos (60°－30°)cos 60°cos 30°sin 60°sin 30°3212323212cos (120°－60°)cos 120°cos 60°sin 120°sin 60°12－12123232