数学人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）课时练习

课时同步练习(三十四)　函数模型的应用

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　)

A．y＝2x　　　　 B．y＝2x－1

C．y＝2x   D．y＝2x＋1

D　[分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．]

2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)

A．310元   B．300元

C．390元   D．280元

B　[由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.]

3．有一组实验数据如下表所示：

则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)

A．u＝log2t   B．u＝2t－2

C．u＝   D．u＝2t－2

C　[可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．

由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.]

4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)

A．75,25   B．75,16

C．60,25   D．60,16

D　[由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.]

5．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：

要使收入每天达到最高，则每间应定价为(　　)

A．20元   B．18元

C．16元   D．14元

C　[每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．]

二、填空题

6．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．

甲　[对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．]

7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

9　[设出租车行驶x km时，付费y元，

则y＝由y＝22.6，解得x＝9.]

8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．

4　[设至少要洗x次，则x≤，

所以x≥≈3.322，所以需4次．]

三、解答题

9．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.

(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；

(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.

[解]　(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，

定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}．

(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.

10．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：

该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．

[解]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．

图(1)　　　　　图(2)

观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，

取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，

所以y＝－0.15(x－4)2＋2.

B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．

设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，

得解得

所以y＝0.25x.

即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.

设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，

那么

所以W＝－0.152＋0.15×2＋2.6.

当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．

即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．

[等级过关练]

1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为

“可食用率”，在特定条件下，可食用率P与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为(　　)

A．3.50分钟   B．3.75分钟

C．4.00分钟   D．4.25分钟

B　[依题意有

解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.

所以P＝－0.2t2＋1.5t－2＝－2＋.

所以当t＝＝3.75时，P取得最大值．

即最佳加工时间为3.75分钟．]

2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)

A．125   B．100

C．75   D．50

C　[由已知，得a＝a·e－50k，

∴e－k＝.

设经过t1天后，一个新丸体积变为a，

则a＝a·e－kt1，

∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75.]

3．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)

2037　[由题意，得14(1＋1.25%)x－2 008>20，即x－2 008>＝≈28.7，

解得x>2 036.7，又x∈N，故x＝2 037.]

4．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：

注：地震强度是指地震时释放的能量．

地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)

　[由记录的部分数据可知

x＝1.6×1019时，y＝5.0，

x＝3.2×1019时，y＝5.2.

所以5.0＝alg (1.6×1019)＋b，①

5．2＝alg (3.2×1019)＋b，②

②－①得0.2＝alg ，0.2＝alg 2.

所以a＝＝＝.]

5．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

[解]　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；

当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，

由已知得

解得

故函数v(x)的表达式为

v(x)＝

(2)依题意并结合(1)可得

f(x)＝

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1 200；

当20<x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立．

所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.

综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．