数学必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）习题

课时同步练习(十八)　函数的最大(小)值

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)

A．2　　　　 B.

C.   D．－

B　[∵函数y＝在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝.]

2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为(　　)

A．[－6，－2]　　　 B．[－11，－2]

C．[－11，－6]   D．[－11，－1]

B　[函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，

所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；

当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，

所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B.]

3．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)

A．10,6   B．10,8

C．8,6   D．以上都不对

A　[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.]

4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]   B．(－∞，0]

C．(－∞，0)   D．(0，＋∞)

C　[令f(x)＝－x2＋2x，

则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.

又∵x∈[0,2]，

∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，

∴a<0.]

5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)

A．90万元   B．60万元

C．120万元   D．120.25万元

C　[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为

L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，

∴当x＝9或10时，L最大为120万元．]

二、填空题

6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.

4　[因为f(x)＝在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.]

7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．

1　[函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.

故当x＝0时，函数有最小值，

当x＝1时，函数有最大值．

∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，

∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.]

8．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．

－4　[∵y＝在区间上是减函数，y＝－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝－3x在区间上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4.]

三、解答题

9．画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．

[解]　函数的图象如图所示．

由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．

由函数图象可知，

函数的最小值为f(0)＝－1.

10．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.

(1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最大值．

[解]　(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；

当0＜2a－1＜2，即<a<时，f(x)min＝f(2)＝－3.

所以g(a)＝

(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，

∴g(a)≤g＝－3；

又当<a<时，g(a)＝－3，

∴g(a)的最大值为－3.

[等级过关练]

1．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)

A.   B．－

C．－2   D．2

A　[∵f(x)＝－x＋在上单调递减，

∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.]

2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)　　　　 B．[0,2]

C．(－∞，2]   D．[1,2]

D　[f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，

∴1≤m≤2，故选D.]

3．函数g(x)＝2x－的值域为________．

　[设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，

即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝22－，t≥0，

∴当t＝时，ymin＝－，

∴函数g(x)的值域为.]

4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．

6　[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．

根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．

解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．

所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]

5．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：

(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．

(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？

[解]　(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组解得

所以y＝f(x)＝－3x＋162.

又y≥0，所以30≤x≤54，

故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．

(2)由题意得，

P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)

＝－3x2＋252x－4 860

＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．

当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．