高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）习题

3.4 函数的应用（一）

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(  )

(A)甲比乙先出发

(B)乙比甲跑的路程多

(C)甲、乙两人的速度相同

(D)甲先到达终点

【答案】D

【解析】由题图知甲所用时间短,∴甲先到达终点.

2.已知等腰三角形的周长为40 cm,底边长y(cm)是腰长 x(cm) 的函数,则函数的定义域为(   )

(A)(10,20) (B)(0,10)

(C)(5,10) (D)[5,10)

【答案】A

【解析】y=40-2x,由得10<x<20.故选A.

3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(  )

(A)3 100元   (B)3 000元

(C)2 900元   (D)2 800元

【答案】B

【解析】设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，函数图象过点(1,8 000)，(2,13 000)，

则,解得 ∴y＝5 000x＋3 000，

当x＝0时，y＝3 000，∴营销人员没有销售量时的收入是3 000元．

4. 2011年12月,某人的工资纳税额是245元,若不考虑其他因素,则他该月工资收入为(   )

注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3 500元(起征点)后的余额.

(A)7 000元 (B)7 500元 (C)6 600元 (D)5 950元

【答案】A

【解析】设此人该月工资收入为x元.1 500×3%=45元.

(x-3 500-1 500)×10%=245-45,得x=7 000元.

5.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率P与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系P=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验数据,根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为( B )

(A)3.50分钟 (B)3.75分钟

(C)4.00分钟 (D)4.25分钟

【答案】B

【解析】依题意有

解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.

所以P=-0.2t2+1.5t-2=- (t-)2+.

所以当t==3.75时,P取得最大值.

即最佳加工时间为3.75分钟.

6.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为      km/h时,汽车的耗油量最少.

【答案】35

【解析】Q=0.002 5v2-0.175v+4.27

=0.002 5(v2-70v)+4.27

=0.002 5[(v-35)2-352]+4.27

=0.002 5(v-35)2+1.207 5.

故v=35 km/h时,耗油量最少.

7.一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.

给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是      .

【答案】①②

【解析】从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故①正确;由排水速度知②正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故③不正确.

8.已知甲、乙两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地,在乙地停留一小时后再以50 km/h的速度返回甲地,把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数,求则此函数表达式？

【答案】s=

【解析】当0≤t≤2.5时s=60t,当2.5<t<3.5时s=150,当3.5≤t≤6.5时s=150-50(t-3.5)=325-50t,

综上所述, s=

能力提升

9.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:

y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用    作为拟合模型较好.

【答案】甲

【解析】对于甲:x=3时,y=32+1=10,

对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.

10.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．

【答案】2

【解析】  以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2(a≠0)，则－2＝a·22，

∴a＝－，∴y＝－x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，－3)，

将B点的坐标代入到y＝－x2中，得b＝±，因此水面宽2米．

11.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.

(1)求y关于x的函数;

(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

【答案】（1）y=    （2）甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨);

付费S甲=4×1.8+3.5×3=17.70(元);

乙户用水量为3x=4.5(吨),付费S乙=4×1.8+0.5×3=8.70(元).

【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;

当甲的用水量超过4吨时,乙的用水量不超过4吨,

即3x≤4,且5x>4时,

y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.

当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,

y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.

所以 y=

(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增;

当x∈[0,]时,y≤f()<26.4;

当x∈（,]时,y≤f()<26.4;

当x∈(,+∞)时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.

所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨);

付费S甲=4×1.8+3.5×3=17.70(元);

乙户用水量为3x=4.5(吨),

付费S乙=4×1.8+0.5×3=8.70(元).

素养达成

12. 2016年9月15日,天宫二号空间实验室发射成功,借天宫二号东风,某厂推出品牌为“玉兔”的新产品,生产“玉兔”的固定成本为20 000元,每生产一件“玉兔”需要增加投入100元,根据统计数据,总收益P(单位:元)与月产量x(单位:件)满足P=(注:总收益=总成本+利润)

(1)请将利润y(单位:元)表示成月产量x的函数;

(2)当月产量为多少时,利润最大?最大利润是多少?

【答案】(1) y=    (2) 当月产量x为300件时,利润y最大,且最大利润为25 000元  

【解析】(1)依题意,总成本是20 000+100x,

所以y=P-(20 000+100x),

即y=

(2)由(1)知,当x∈(0,400]时,

y=- (x-300)2+25 000,

所以当x=300时,ymax=25 000;

当x>400时,y=60 000-100x<20 000.

故当月产量x为300件时,利润y最大,且最大利润为25 000元.