高中人教A版 (2019)5.1 任意角和弧度制课后复习题

课时同步练习(三十五)　任意角

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．角－870°的终边所在的象限是(　　)

A．第一象限　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

C　[－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C.]

2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是(　　)

A．170°   B．190°

C．－190°   D．－170°

C　[与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k·360°，k∈Z，因为－360°＜α＜0°，所以－＜k＜－，因为k∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.]

3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)

A．90°－α   B．90°＋α

C．360°－α   D．180°＋α

C　[因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．]

4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是(　　)

A．第一或第三象限   B．第一或第二象限

C．第二或第四象限   D．第三或第四象限

A　[当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．]

5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(　　)

A．第一象限角   B．第一、二象限角

C．第一、三象限角   D．第一、四象限角

C　[由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．]

二、填空题

6．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.

{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}　[在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.

所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．]

7．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．

219°　－141°　[与2 019°角的终边相同的角为2 019°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，219°为最小正角；当k＝－6时，－141°为绝对值最小的角．]

8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.

k·360°＋60°(k∈Z)　[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]

三、解答题

9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．

(1)最大的负角；

(2)最小的正角；

(3)－720°到－360°的角．

[解]　与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.

(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.

(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，

故所求的最小正角为170°.

(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.

10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．

(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；

(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；

(3)求A∩B.

[解]　(1)角α终边所在区域如图(1)所示．

(2)角β终边所在区域如图(2)所示．

图(1)　　　　图(2)

(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z} .

[等级过关练]

1．已知θ为第二象限角，那么是(　　)

A．第一或第二象限角

B．第一或第四象限角

C．第二或第四象限角

D．第一、二或第四象限角

D　[∵θ为第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z，

∴30°＋k·120°＜＜60°＋k·120°，k∈Z，

当k＝0时，30°＜＜60°，属于第一象限，

当k＝1时，150°＜＜180°，属于第二象限，

当k＝－1时，－90°＜＜－60°，属于第四象限，

∴是第一、二或第四象限角．]

2．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　)

A．α＋β＝k·360°，k∈Z

B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z

C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z

D．α－β＝k·360°，k∈Z

B　[法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.

法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.]

3．终边落在直线y＝x上的角的集合为________．

{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}　[如图所示终边落在射线y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．]

4．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.

270°　[由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.]

5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

[解]　由题意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.

∵α，β为锐角，

∴0°＜α＋β＜180°.

取k＝1，得α＋β＝80°，①

α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.

∵α，β为锐角，

∴－90°＜α－β＜90°.

取k＝－2，得α－β＝－50°，②

由①②得：α＝15°，β＝65°.