初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步测试题

专题07 一元二次方程根与系数的关系

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：

+＝； ＝

一、单选题(共10小题)

1．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）

A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3

【答案】B

【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．

【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，

∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，

∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，

故选B ．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．

2．若，是方程的两个实数根，则的值为  

A．2015 B． C．2016 D．2019

【答案】C

【分析】

根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论．

【详解】

是方程的两个实数根，，即，则．

故选C．

【点睛】

本题考查了方程的解的概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键．

3．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（      ）

A．-13 B．12 C．14 D．15

【答案】B

【详解】

根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-，α·β=，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×+3×（-）+1=12.

故选B.

点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x1+x2=-，x1·x2=，然后变形代入即可.

4．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）

A．5 B．10 C．11 D．13

【答案】D

【分析】

利用根与系数的关系得到再利用完全平方公式得到然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：根据题意得

所以

故选：D．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键．

5．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(      )

A．2006 B．2007 C．2008 D．2009

【答案】C

【详解】

分析：由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．

解答：解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，

∴a2+a=2009；

由根与系数的关系得：a+b=-1，

∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009-1=2008．

故选C．

6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　）

A．1 B．﹣3 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

设方程的另一个解为x1，

根据题意得：﹣1+x1=2，

解得：x1=3，

故选C．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．

7．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（    ）

A． B． C．或1 D．或4

【答案】A

【分析】

通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．

【详解】

解：∵方程有两个实数根，，

∴，

，

∵，

∴，

整理得，，

解得，，，

若使有实数根，则，

解得，，

所以，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．

8．若一元二次方程的两根为，，则的值是（    ）

A．4 B．2 C．1 D．﹣2

【答案】A

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.

【详解】

根据题意得，，

所以．

故选A．

【点睛】

此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.

9．若方程的两个实数根为α,β，则α+β的值为（　　）

A．12 B．10 C．4 D．-4

【答案】A

【分析】

根据根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式变形，代入即可求解.

【详解】

解：方程的两个实数根为，

，，

；

故选A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．

10．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）

A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3

【答案】A

【分析】

根据根与系数的关系即可求出答案．

【详解】

解：设另一个根为x，则

x+2＝﹣5，

解得x＝﹣7．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键．

二、填空题(共5小题)

11．一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .

【答案】2

【分析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得.

【详解】由题意得：+2=0，=2，

∴=-2，=4，

∴=-2+4=2，

故答案为2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.

12．方程的两个根为、，则的值等于______．

【答案】3．

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.

【详解】

解：根据题意得，，

所以===3．

故答案为3．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．

13．一元二次方程的两根为，则________________

【答案】

【分析】

根据根与系数的关系表示出和即可；

【详解】

∵，

∴，，，

∴，，

∴，

=，

=．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．

14．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____.

【答案】-2

【分析】

根据根与系数的关系即可求解.

【详解】

∵x1+x2=-2，x1.x2=k-1,

=4-3(k-1)

=13,

K=-2.

故答案为:-2.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系及应用.

15．设、是方程的两个实数根，则的值为_____．

【答案】-2017

【分析】

根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．

【详解】

∵、是方程的两个实数根，

∴，，

∴．

故答案为-2017．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

三、解答题(共2小题)

16．已知关于x的方程.

（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【详解】

试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.

（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.

试题解析：（1）设方程的另一根为x1，

∵该方程的一个根为1，∴.解得.

∴a的值为，该方程的另一根为.

（2）∵，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.

17．己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若=﹣1，求k的值．

【答案】（1）k＞﹣；（2）k=3．

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2，结合=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．

【详解】

（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，

∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，

解得：k＞﹣；

（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，

∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，

∴=﹣1，

解得：k1=3，k2=﹣1，

经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根，

又∵k＞﹣，

∴k=3．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合=﹣1找出关于k的分式方程．