初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数课后作业题

专题20 利用二次函数解决图形问题

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题)

1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是（   ）

A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2

【答案】C

【详解】

试题分析：设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式为y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，，利用二次函数性质即可求出求当x=8m时，ymax=64m2，即所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故答案选C．

考点：二次函数的应用．

2．设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（　　）

A．17                           B．11                            C．8 D．7

【答案】B

【解析】

试题解析：

∴D(1,6)，

∵AB=4，

∴AC=BC=2，

∴点A的横坐标为−1，

当x=−1时,

∴CD=14−6=8，

∴CE=DE+CD=3+8=11，

则杯子的高CE为11.

故选B.

3．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（    ）

A．6cm B．12cm C．24cm D．36cm

【答案】A

【分析】

设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．

【详解】

解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得

18＝9k，

解得：k＝2，

∴y＝2x2，

当y＝72时，72＝2x2，

∴x＝6．

故选A．

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

4．用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为（　　）m2．

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】

设宽为xm，则长为m，可得面积S=x•x2+4x，配方即可求解．

【详解】

设宽为xm，则长为m，可得面积S=x•x2+4x=．

当x时，S有最大值，最大值为．

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．

5．如图，两条抛物线y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(　 　)

A．8 B．6 C．10 D．4

【答案】A

【分析】

把阴影图形分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．

【详解】

如图，过，y2＝－x2－1的顶点（0，-1）作平行于x轴的直线与y1＝－x2＋1围成的阴影，同过点（0，-3）作平行于x轴的直线与y2＝－x2－1围成的图形形状相同，

故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，

因此矩形的面积为4×2=8．

故选A

【点睛】

此题主要考查利用二次函数图象的特点与分割拼凑的方法求不规则图形的面积．

6．如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均2cm/s，点沿向点运动，点沿向点运动，则△的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（   ）

A．B．C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

分①0＜t≤1；②1＜t≤2；两种情况分别求出S与t之间的函数关系式，再根据二次函数的图象与性质求解即可．

【详解】

分两种情况：

①0＜t≤1时，P在边AD上，Q在AB上．

∵AP=2t，AQ=2t，∴SAP•AQ•2t•2t=2t2，所以A、B错误；

②1＜t≤2，P在边CD上，Q在边BC上，如图，∵DP=2(t-1)=2t-2，BQ=2(t-1)=2t-2，QC=PC=4-2t，∴S=S正方形ABCD－S△ABQ―S△ADP―S△CPQ=2×2－×2×（2t－2）－×2×（2t－2）－×（4－2t）2=－2t2+4t=，所以D错误．

故选C．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，二次函数的图象与性质，能够对t的取值正确分类并且分别求出S与t之间的函数关系式是解题的关键．

7．用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积最大为(　　)

A．7 cm2 B．8 cm2 C．9 cm2 D．10 cm2

【答案】C

【分析】

设矩形的长为x,表示出矩形的宽，根据二次函数的性质求出最大值即可.

【详解】

设矩形的长为x,则宽为

矩形的面积

故矩形的最大面积是9 cm2

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数最小（大）值的求法．掌握配方法是解题的关键.

8．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2，根据二次函数的图象及性质求最值即可．

【详解】

解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2

由题意可得y=x（20－2x）=-2（x－5）2＋50，且8≤20－2x≤15

解得：2.5≤x≤6

∵-2＜0，二次函数图象的对称轴为直线x=5

∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；

当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；

故选C．

【点睛】

此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的图象及性质是解题关键．

9．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先设矩形饲养室的长为x米，宽为y米，再根据总长求出x与y的等式关系，然后根据矩形的面积公式列出函数，最后根据二次函数的性质求解即可．

【详解】

设矩形饲养室的长为x米，宽为y米，则

由所有围栏的总长（不含门）可得：

整理得：

由，即得：

则能建成的饲养室的面积为

整理得：

由二次函数的性质可知，在的范围内，当时，S取得最大值，最大值为75

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，依据题意，正确求出矩形饲养室的长与宽、以及长的取值范围是解题关键．

10．一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C．D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（　　）

A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm

【答案】C

【详解】

试题解析：解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（40﹣x），0＜x＜40．S=4ah=8x（40﹣x）=﹣8（x﹣20）2+3200，∴当x=20cm时，S取最大值．故选C．

点睛：考查函二次函数的最值、等腰直角三角形及正方形的性质，同时还考查了考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．

二、填空题(共5小题)

11．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．

【答案】150

【分析】

根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题．

【详解】

解：设AB=xm，则BC=（900﹣3x），

由题意可得，S=AB×BC= （900﹣3x）x=﹣（x2﹣300x）=﹣（x﹣150）2+33750，

∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，

∴AB=150m，

故答案为150．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值．

12．用一根长为20cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为_____．

【答案】y＝﹣x2+10x

【分析】

根据长方形的面积=长×宽，即可解答．

【详解】

解：由题意知：y=x•（）=x（10-x）=-x2+10x．

故答案为：y=-x2+10x．

【点睛】

此题主要考查利用二次函数解决实际问题，解决本题的关键是熟记长方形的面积=长×宽．

13．二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为________．

【答案】3

【详解】

∵抛物线y=x2+4x+3=（x+1）（x+3），

∴它与坐标轴的三个交点分别是：（-1，0），（-3，0），（0，3），

∴该三角形的面积为．

故答案是3.

14．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2.

【答案】112.5

【分析】

设矩形的长为xm，则宽为m，根据矩形的面积公式得出函数解析式，继而将其配方成顶点式，由x的取值范围结合函数性质可得最值．

【详解】

设矩形的长为xm，则宽为m，

菜园的面积S=x•=-x2+15x=-（x-15）2+，（0＜x≤20）.

∵当x＜15时，S随x的增大而增大，

∴当x=15时，S最大值=m2，

故答案为．

【点睛】

本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量x的取值范围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键．

15．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB的长为x米，则菜园的面积y(平方米)与x(米)的函数表达式为________．(不要求写出自变量x的取值范围)

【答案】y＝－x2＋15x

【分析】

由AB边长为x米，根据已知可以推出BC=（30-x），然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．

【详解】

∵AB边长为x米，

而菜园ABCD是矩形菜园，

∴BC=（30-x），

菜园的面积=AB×BC= （30-x）•x，

则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y＝－x2＋15x，

故答案为y＝－x2＋15x.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，正确分析，找准各量间的数量关系列出函数关系式是解题的关键.

三、解答题(共2小题)

16．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．

【分析】

（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；（2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a

【详解】

（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，

根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，

当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；

当x=45时，100﹣2x=10，

答：AD的长为10m；

（2）设AD=xm，

∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，

当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；

当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，

综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程及二次函数的应用.解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点.

17．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；

(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？

【答案】（1）S=﹣3x2+24x，≤x< 8；（2） 5m；（3）46.67m2

【分析】

（1）设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），利用长方形的面积公式，可求出S与x关系式，根据墙的最大长度求出x的取值范围；

（2）根据（1）所求的关系式把S=45代入即可求出x，即AB；

（3）根据二次函数的性质及x的取值范围求出即可.

【详解】

解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），

即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，

又∵0＜24﹣3x≤10，

∴；

（2）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），

∴﹣3x2+24x＝45．

整理，得x2﹣8x+15＝0，

解得x＝3或5，

当x＝3时，长＝24﹣9＝15＞10不成立，

当x＝5时，长＝24﹣15＝9＜10成立，

∴AB长为5m；

（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48

∵墙的最大可用长度为10m，0≤24﹣3x≤10，

∴，

∵对称轴x＝4，开口向下，

∴当x＝m，有最大面积的花圃．

【点睛】

二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键.