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    第六讲 一元二次方程根与系数的关系(原卷版) -【暑假辅导班】2021年新九年级数学上册暑假课程(人教版)
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    人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计

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    这是一份人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计,共3页。教案主要包含了学习目标,知识回顾,新课讲解等内容,欢迎下载使用。

    1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
    2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
    【知识回顾】
    1.写出一元二次方程: ax2 + bx +c = 0(a≠0) 的求根公式
    2.怎样用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况
    对一元二次方程: ax2 + bx +c = 0(a≠0)
    b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
    b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
    b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
    【新课讲解】
    知识点1:探索一元二次方程的根与系数的关系
    1.方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2与p,q之间的关系为:
    x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
    2.如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,那么,两个根与二次项系数a、一次项系数b、常数项c的关系是:
    x1+x2=-b/a x1·x2=c/a
    满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.
    3.韦达定理:如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2,那么x1+x2=-b/a x1·x2=c/a
    4.理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程
    【例题1】已知 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2,证明:x1+x2=-b/a x1·x2=c/a
    知识点2:一元二次方程的根与系数的关系的应用
    【例题2】利用根与系数的关系,求方程x2 + 7x + 6 = 0的两根之和、两根之积.
    【例题3】已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
    【例题4】设x1,x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根,且x12 +x22 =4,求k的值.
    知识技巧:求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.常见的求值问题需要用到的转化式子:
    一元二次方程根与系数的关系过关检测
    注意:满分100分,答题时间60分钟
    一、单选题(每小题4分,共32分)
    1.一元二次方程的两实数根相等,则的值为( )
    A. B.或 C. D.或
    2.若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为( )
    A.-1或 B.-1 C. D.不存在
    3.已知α,β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根,则α+β﹣αβ的值是( )
    A.3B.1C.﹣1D.﹣3
    4.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( )
    A. B.3 C.6 D.9
    5.已知、是一元二次方程的两个实数根,下列结论错误的是( )
    A.B.C.D.
    6.若2-是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是( )
    A.1B.3-C.1+D.2+
    7.关于x的一元二次方程有两个实数根,,则k的值( )
    A.0或2B.-2或2C.-2D.2
    8.关于的方程的两根的平方和是5,则的值是( )
    A.-1或5B.1C.5D.-1
    二、填空题(每小题5分,共20分)
    9.已知一元二次方程的两根为、,则______.
    10.(2018·南京市期末)关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12﹣x1x2+x22的值是_____.
    11.已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1,x2=2,则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为__________.
    12.如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2﹣m=3,n2﹣n=3,那么代数式
    2n2﹣mn+2m+2015= .
    三、解答题(48分)
    13.(8分)已知方程的两个根为、,求的值.
    14.(10分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根.
    (1)求k的取值范围;
    (2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.
    15.(10分)已知关于的一元二次方程有两个实数根和.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)当时,求的值.
    16.(8分)已知、是方程的两实数根,求的值.
    17.(12分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两根α,β.
    (1)求m的取值范围;
    (2)若,则m的值为多少?
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