数学人教版22.3 实际问题与二次函数一课一练

专题21 利用二次函数解决拱桥问题

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题)

1．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.

【详解】

∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，

∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，

∴-78=452a，

解得：a=，

∴此抛物线钢拱的函数表达式为，

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

2．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（    ）

A．2m B．2m C．m D．m

【答案】A

【详解】

建立如图所示直角坐标系：

可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=–，

∴y=–x2，当y=–3时，–x2=–3．解得：x=±，∴水面下降1m，水面宽度为2m．故选A．

3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　）

A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m

【答案】B

【详解】

如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5，∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2，解得：x=±3，2×3﹣4=2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米，故选B．

4．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）

A．16米 B．米 C．16米 D．米

【答案】B

【详解】

试题分析：∵AC⊥x轴，OA=10米，

∴点C的横坐标为﹣10，

当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，

∴C（﹣10，﹣），∴桥面离水面的高度AC为m．故选B．

考点：二次函数的应用．

5．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图，由题意可设抛物线的解析式为，

∵由题意可知点A、B的坐标分别为（-5，-4）、（5，-4），且抛物线过点A、B，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：.

故选C.

6．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面上升 1m，则水面宽为（    ）

A．m B．2m C．2m D．2m

【答案】C

【分析】

根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后求出函数的解析式，然后令y=1求出相应的x的值，则水面的宽就是此时两个x的差的绝对值．

【详解】

如右图所示，建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为：y=a(x−2)2+2，

∵函数图象过点(0,0)，

∴0=a(0−2)2+2,得a=−，

∴抛物线的解析式为：y=−(x−2)2+2，

当y=1时,1=−(x−2)2+2，

解得,x1=2−、x2=2+，

∴水面的宽度是：(2+)−(2−)=2，

故答案选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.

7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降 (　 　)

A．3.5  B．3 C．2.5 D．2

【答案】C

【分析】

由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m时，求出当x=3时，对应y值即可解答．

【详解】

解：设此函数解析式为：，；

那么应在此函数解析式上．

则

即得，

那么．

当x=3时，

∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）

故选：C.

【点睛】

根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．

8．如图是抛物线形拱桥的剖面图，拱底宽12m，拱高8m，设计警戒水位为6m，当拱桥内水位达到警戒水位时，拱桥内的水面宽度是（　　）

A．3m B．6m C．3m D．6m

【答案】B

【分析】

根据题意建立直角坐标系，如图，设抛物线的解析式为y=ax2+c，由待定系数法求出其解即可.

【详解】

解：如图建立直角坐标系，

设抛物线的解析式为y=ax2+c，由题意，得，

解得：，

∴y=-x2+8；

当y=6时，即6=-x2+8，

解得：x=±3，

∴拱桥内的水面宽度=6m，

故选B．

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

9．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（    ）

A．3m B．m C．4m D．9m

【答案】D

【分析】

根据题意可得点A、B的横坐标分别为-6和6，然后把点B的横坐标代入抛物线解析式求解即可．

【详解】

解：由题意及抛物线的对称性得：点A、B的横坐标分别为-6和6，

则有把点B代入解析式得：，所以这时水面离桥顶的高度为9m；

故选D．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

10．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．

【详解】

由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x＝20，

最高点坐标为（20，16），且经过原点，

由此可设该抛物线解析式为，

将原点坐标代入可得，

解得：a＝，

故该抛物线解析式为y＝ ＝

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等．难度不大，找到顶点坐标设出顶点式是解题关键．

二、填空题(共5小题)

11．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米精确到1米

【答案】

【详解】

由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就

是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．

故有，

即， ， ．

所以两盏警示灯之间的水平距离为：

12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.
 

【答案】4-4

【分析】

根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．

【详解】

建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为

通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标

代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为

当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把代入抛物线解析式得出：

解得： 

所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了

故答案是：

【点睛】

考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．

13．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为______．

【答案】

【分析】

根据题意，抛物线的顶点坐标是，并且过，利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可．

【详解】

解：设，

因为抛物线过，

所以代入得：

，

解得，

故此抛物线的函数关系式为：

．

故答案为．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法以及二次函数的应用，根据已知得出图象上点的坐标是解题关键．

14．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过_____米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

【答案】2.76

【分析】

以拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立平面直角坐标系．根据题中数据求出抛物线解析式．桥下水面的宽度不得小于18米，即求当x=9时y的值，然后根据正常水位进行解答．

【详解】

设抛物线解析式为y=ax2，

把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4=a×102，

解得：a=﹣，

∴y=﹣x2，把x=9代入，得：

y=﹣=﹣3.24，

此时水深=4+2﹣3.24=2.76米．

故答案是：2.76.

【点睛】

考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

15．如图是一座抛物线型拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为拱桥底部两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE长为______m.

【答案】48

【详解】

如图，以点C为原点建立平面直角坐标系，

依题意，得B（18，－9），

设抛物线解析式为：，将B点坐标代入，得．

∴抛物线解析式为：．

依题意，得D、E点纵坐标为y＝－16，代入，得

，解得：x＝±24．

∴D点横坐标为－24，E点横坐标为24．

∴DE的长为48m．

三、解答题(共2小题)

16．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　  （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　   　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

【答案】(1) 方案1; B（5,0）; ;(2) 3.2m.

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式．

（2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论．

试题解析：解：方案1：（1）点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；

（2）由题意：把代入，解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．

方案2：（1）点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：．

由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；

（2）由题意：把代入解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．

方案3：（1）点B的坐标为（5， ），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．

设抛物线的解析式为：，把点B的坐标（5， ），代入解析式可得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）由题意：把代入解得：=，∴水面上涨的高度为3.2m．

17．图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：

（1）求拱桥所在抛物线的解析式；

（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？

【答案】（1）y=﹣x2+2;（2）

【分析】

（1）设出抛物线解析式，由已知条件求出点B、点C的坐标，将B、C的坐标代入抛物线解析式，列方程组求出未知参数即可；（2）令y=﹣1，解出x，即可求出水面的宽度.

【详解】

解：（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2+b（a≠0），

∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m，

∴点C（0，2），点B（2，0），

代入得：，

解得：，

∴拱桥所在抛物线的解析式为y=﹣x2+2；

（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为﹣1，

令y=﹣1，

则﹣1=﹣x2+2，

解得x=±，

∴水面宽度为2米.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式是解题的关键.