2021学年21.2.3 因式分解法课后测评

专题05 解一元二次方程-因式分解法

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

用因式分解一元二次方程的一般步骤：

1、将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

2、将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

3、令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

4、求解

归纳：右化零，左分解，两因式，各求解 

一、单选题(共10小题)

1．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）

A．12 B．9 C．13 D．12或9

【答案】A

【详解】

因式分解可得：(x－2)(x－5)=0，解得：=2，=5，

当2为底，5为腰时，则三角形的周长为12；

当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，

故选A.

2．已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是(　　)

A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3

【答案】B

【详解】

试题解析：∵（x2＋y2）(x2＋y2＋2)－3=0，

∴（x2＋y2）2+2(x2＋y2)－3=0，

解得：x2＋y2=-3或x2＋y2=1

∵x2＋y2>0

∴x2＋y2=1

故选B.

3．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　）

A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝1

【答案】D

【分析】

利用因式分解法求解可得．

【详解】

解：∵x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0，

∴（x﹣5）（x﹣1）＝0，

则x﹣5＝0或x﹣1＝0，

解得x＝5或x＝1，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

4．一元二次方程的根是

A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2

【答案】D

【分析】

先移项得到，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可.

【详解】

,

故选D.

5．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）

A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3

C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3

【答案】D

【分析】

利用因式分解法解方程．

【详解】

解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，

x﹣2＝0或x﹣3＝0，

∴x1＝2，x2＝3．

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

6．方程x2=x的解是（　　）

A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=0

【答案】C

【详解】

试题解析：x2-x=0，

x（x-1）=0，

x=0或x-1=0，

所以x1=0，x2=1．

故选C．

考点：解一元二次方程-因式分解法．

7．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为（     ）

A．1或-4 B．－1或－4

C．-1或4 D．1或4

【答案】A

【详解】

试题解析：∵x=-2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴（-2）2+a×（-2）-a2=0，即a2+3a-4=0，
整理，得（a+4）（a-1）=0，
解得 a1=-4，a2=1．
即a的值是1或-4．
故选A．

点睛：一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

8．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（　　）

A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3

C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3

【答案】C

【分析】

由根的情况，依据根的判别式得出m的范围，结合m为正整数得出m的值，代入方程求解可得．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，

∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，

解得：m＜2，

∵m为正整数，

∴m＝1，

则方程为x2﹣4x+3＝0，

解得：x1＝1，x2＝3，

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.

9．若 ，则 的值为（    ）.

A．－3

B．－1或4

C．4

D．无法计算

【答案】C

【解析】

把看做一个整体，则方程可看作，然后分解因式为（+1）（-4）=0，解得=-1（舍去）或=4.

故选C.

10．已知，则等于（  ）

A．或 B．6或1 C．或1 D．2或3

【答案】A

【分析】

先把左边进行因式分解，得，从而可得x，y的关系式，即可求y：x的值.

【详解】

∵

∴

∴

∴=或.

故选A.

【点睛】

本题实际是考查运用换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是理解题意，把二元二次变成一元二次方程.

二、填空题(共5小题)

11．一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．

【答案】x1=0，x2=1

【分析】

方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

【详解】

方程变形得：x（x﹣1）=0，

可得x=0或x﹣1=0，

解得：x1=0，x2=1．

故答案为x1=0，x2=1．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．

12．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______．

【答案】24

【详解】

解：x2﹣14x+48=0，则有（x-6）(x-8)=0解得：x=6或x=8．所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为24．

点睛：本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系．

13．一元二次方程的根是_____．

【答案】

【分析】

利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．

【详解】

解：或，

所以．

故答案为．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

14．一元二次方程的根是_____.

【答案】x1=1, x2=2.

【分析】

整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.

【详解】

x(x-2)-(x-2)=0，

，

x-1=0或x-2=0，

所以x1=1， x2=2，

故答案为x1=1， x2=2.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.

15．若，则的值为___________.

【答案】2.

【分析】

因为，所以，即可转化为，解方程即可.

【详解】

解：∵

∴

∴,

解得：(舍去)

故x=2.

【点睛】

本题考查了二次根式的运算和一元二次方程的解法，正确理解题意是解题基础.

三、解答题(共2小题)

16．解方程：

（1）

（2）

【答案】（1），；（2），．

【分析】

（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；

（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．

【详解】

解：（1）方程移项得：，

开方得：，

解得：，；

（2）方程移项得：，

分解因式得：，

解得：，．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

17．用因式分解法解下列方程：   

(1) ；   

(2) ；   

(3) ；   

(4) ．

【答案】（1）；           

（2）；

（3）；

（4） ．

【解析】

试题分析：（1）根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可；

（2）先用提公因式法因式分解，再按ab=0方式解方程即可；

（3）先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可；

（4）把x+3看做一个整体，然后根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可.

试题解析：（1），

∴ ，

∴ ；           

（2），

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（3），

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（4） ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．