初中人教版第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试教案

这是一份初中人教版第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试教案，共12页。教案主要包含了目标与策略，学习与应用，总结与测评等内容，欢迎下载使用。

整式的乘除与因式分解单元复习与巩固

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：
l 经历探索整式运算法则和因式分解方法的过程，体会数学知识之间的内在联系．
l 了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质；了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，体会事物之间可以相互转化的思想．
l 会进行简单的整式乘除运算；会用提公因式法、公式法进行因式分解．
l 会推导乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a±b)2＝a2±2ab＋b2；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算及其逆向变形．
l 理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握什么是公因式，掌握提公因式（字母的指数是数字）和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。
重点：
l 整式的乘除法
l 因式分解的两种基本方法.
难点：
l 乘法公式的灵活运用.
l 因式分解方法的综合应用。
学习策略：
l 经历观察、思考、交流、探究等数学活动过程，体验解决问题的方法，进一步发展归纳、类比、概括能力和有条理地思考与表达能力．

二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。


知识网络






知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。




知识点一：幂的运算性质：
（一）同底数幂的乘法： （m,n为正整数）；
注：此性质可以逆用，即 。如：已知2a＝5,2b＝7，则2a＋b＝_________＝5×7＝35。另外三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即am·an·ap＝ （m、n、p都是正整数）
（二）幂的乘方： （m,n为正整数）；
注：注意不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，前者是指数 ，后者是指数 。
（三）积的乘方： （n为正整数）；
注：在积的乘方运算中很容易将底数中某一项或几项不乘方而出现错误，所以在进行积的乘方运算时应先确定底数有几项，然后将这几项全都乘方，再将结果 。
（四）同底数幂的除法： (a≠0, m,n为正整数，并且m＞n).
注：根据同底数幂除法的运算性质 (a≠0, m,n为正整数，并且m＞n)，当指数相同时，则有 ，从而诠释了“任何不等于0的数的0次幂都等于__”的道理，同时，又将同底数幂除法的运算性质中m＞n的条件扩大为 ；而当m＜n时，仍然使用am÷an＝am－n，则m－n＜0，便出现了负指数幂a－p＝ (a≠0, p为正整数)；至此，同底数幂除法的运算性质am÷an＝am－n的适用范围已不必过分的强调m、n之间的大小关系，m、n的值也由正整数扩大到 了.
知识点二：整式乘法主要指两种运算：
（一）单项式乘以单项式
注：先确定 ，再计算 ．这时容易出现的错误是将系数相乘与指数相加混淆，如2a3·3a2＝ 而不要认为是6a6或5a5．另外单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用．
（二）多项式乘以单项式
注：（1）运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和．
（2）在多项式乘法中，通过实例得出了：含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的 次 项式. 如果用a,b分别表示含有一个系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有公式：
(x＋a)(x＋b)＝ 。
知识点三：整式的除法
整式的除法是以同底数幂的 为基础的，主要涉及单项式除以单项式，多项式除以单项式两种情况。运算法则是：
（一）单项式相除，把 、 的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
注：（1）系数先相除，所得的结果作为商的 ，特别注意系数包括前面的符号．
（2）被除式里单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏．
（3）要注意运算的顺序，有乘方先算 ，有括号先算 里．特别是同级运算一定要从 至 ，如：
，而不是
（二）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 。
注：（1）多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数 ．
（2）用多项式的每一项除以单项式时，商中的每一项的符号由多项式中的每项的符号与单项式的符号共同确定．
知识点四：乘法公式：
（一）平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ ；
（二）完全平方公式：(a＋b)2＝ ；(a－b)2＝
注：（1）应用乘法公式时，应避免出现以下错误，如，，等等；
（2）注意乘法公式的灵活正用和逆用问题．
知识点五：因式分解
把一个多项式化成几个整式的 的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 .
初中数学教材中主要介绍的因式分解的方法有 、
、 , 十字相乘法, 添、拆项法等。
要点诠释：
（1）因式分解的对象是 ，因式分解的结果一定是
的形式；
（2）因式分解的一般步骤是：首先看有无 ，然后判断是否可以套用 ，最后考虑分组分解。分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止，一般情况是，最后结果只有 括号并且每个 括号中多项式首项系数为 。例如：-3x2+x=
（3）提公因式法的关键是确定 。即①取各项系数的
②字母取各项的 的字母③各相同字母的指数取次数 的；
（4）运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢记公式的特征；
（5）分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。




类型一：幂的运算性质的有关运算：
例1．计算：
（1）103×104； （2）a·a3； （3）a·a3·a5．
（4）(103)5； （5）(b3)4 （6）(2b)3；
（7）(2×a3)2； （8）(－a)3； （9）(－3x)4．
思路点拨：（1）（2）（3）题为同底数幂的 ，法则是底数不变指数 。（4）（5）题为幂的 ，法则是底数不变，指数 。（6）（7）（8）（9）题为积的 ，法则是积中每个因式分别乘方再把所得的幂 ，并注意（7）（8）中的“—”不要漏掉。
解析：





总结升华：

举一反三：
【变式1】下面的计算是否正确？如有错误，请改正过来。
（1）(－a)2＝－a2； （2）(x－y)3＝(y－x)3；
（3）a3a3＝2a3　 （4）b4＋b4＝b8
（5） (a4)4＝a4＋4＝a8 （6）(－2x)3＝2x3；
解析：




【变式2】计算
答案:


☆【变式3】若是正整数，且，①求满足条件的共有多少对？②根据条件能否快速判断出的计算结果？
答案：






类型二：整式乘除的有关运算：
例2.下列运算是否正确，如有错误请改正过来。
（1）(－a2b)3·(－4ab2)2＝－×(－4) (a2b)·(ab2)＝2a3b3.
（2）(－3x2)(2x3＋x2－1)＝(－3x2)·2x3＋ (－3x2)·x2＝－6x5－3x4.
（3）＝
（4）(3x－2y)(4x＋7y)＝3x·4y＋(－2y)·7x＝12x2－14y2.
（5）x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)＝x3＋3x＋x3－3x2－3x3＋3x2＋3x.
（6）8x2－(x－2)(3x＋1)－2(x＋1)(x－5)＝8x2－(3x2－2)－2(x2－5)＝8x2－3x2＋2－2x2＋10＝3x2＋12.
解析：







总结升华：

举一反三：
【变式1】要使(6x－a)(2x＋1)的结果中不含x的一次项,则a等于（ ）
A．0 B．1 C．2  D．3
答案：

【变式2】计算：
（1）(x＋2)(x－3) （2）(3x－1)(2x＋1)
（3）(x－3y)(x＋7y) （4）(2x＋5y)(3x－2y)．
（5）(9x4－15x2＋6x)÷３x （6）(28a3b2c＋a2b3－14a2b2)÷(－7a2b)．
解析：






类型三：乘法公式的应用
例3．计算（1）(3x＋2y)(3x－2y)　　（2）(－5a－3b)(5a－3b)　　（3）(－2x＋3y)2
思路点拨：先观察式子特点，再恰当选择乘法公式，注意最后结果要化简。
解析：






例4．（1）1999×2001　　（2）1022
思路点拨：直接计算较麻烦，略加变形，便可能化为符合 公式或
平方式形式，既简捷又新颖。
解：






例5．求[x3－(x－1)2](x－1)展开后，x2项的系数．
思路点拨：[x3－(x－1)2](x－1)＝x3(x－1)－(x－1)3．因为x2项只在 中出现，所以只要看－(x－1)3＝ 中x2项的系数即可．
解析：



总结升华：

例6．已知a＋b＝3，ab＝－4，
求 ：（1）a2＋b2； ☆☆（2）a3＋b3，
思路点拨：由a2＋b2这一特征，使我们联想完全平方公式“ ”由此变形为“a2＋b2＝(a＋b)2－ ”，显然可将(1)解决，由此进行探索，便可打开思路。
解析：








总结升华：

举一反三：
【变式1】计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)
解析：





☆【变式2】.已知a－b＝4, b－c＝6，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值。
解析：




☆【变式3】已知、、是△ABC的三边，且满足，那么△ABC为等边三角形吗？
解析：






☆☆【变式4】计算：
解析：






☆【变式5】计算：
解析：






类型四：因式分解的有关运算
例7．下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是（ ）
A．a(a－b＋1)＝a2－ab＋b B．a2－a－2＝a(a－1)－2
C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－4x－5＝(x－2)2－9
思路点拨：因为 的右边都不是整式的乘积的形式,只有__的右边是整式的乘积形式,并且左右恒等.
答案：
例8．关于多项式m(a－b)2－n(b－a)3－m(b－a)各项的公因式，下面说法正确的是（ ）
A．没有公因式　 B．公因式为m　 C．公因式为(b－a)　 D．公因式为(b－a)2
答案：
例9．分解因式：(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.
思路点拨：把 看成一个整体利用完全平方公式进行分解.
解析:





总结升华：

☆例10．试说明：连续两个奇数的平方差可以被8整除．
解析：




☆例11．如果二次三项式(为整数)在整数范围内可以分解因式，那么可以取那些值？
解析：





举一反三：
【变式1】分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
解析：








【变式2】把下列多项式分解因式：
（1）4x3y＋4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2。
解析：





☆☆【变式3】.已知x的多项式2x3－x2－13x＋k因式分解后有一个因式为(2x＋1)
（1）求k的值；（2）将多项式因式分解
解析：






【变式4】分解因式：(x2＋3x＋2)(4x2＋8x＋3)－90．
解析：







三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
总结规律和方法---强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。




（一）整式的乘法与因式分解在意义上正好相反,结果的特征是因式分解是 的形式,整式的乘法是 的形式,抓住这一特征,就不容易混淆因式分解与整式的乘法.
（二）分解因式的一般步骤是先提取公因式，然后再利用公式。在提取公因式的过程中有很多情况应该先将所给的多项式中的某一部分进行变形，然后才能提取公因式或者利用公式进行分解因式。常用的变形公式是：和 (n为正整数)，即当次数是偶数时，可以随意改变括号里面的减数和被减数的位置，当次数是奇数时，在改变减数和被减数的位置之后，应该在括号的前面加一个负号。
（三）在本章中多次运用转化与化归的思想方法，例如单项式乘以单项式可以转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可以转化为单项式乘以单项式。
（四）整体代换的思想方法在乘法公式中表现的特别典型，公式中的字母不仅可以代表数，而且可以表示代数式。正是由于整体代换的思想，乘法公式才能得到广泛的应用。再比如，在研究多项式乘多项式法则时，是把看成一个整体，运用单项式乘以多项式的法则，得到然后再运用“单多”的运算法则即可得到。在分解因式时，可以把看成一个整体，提公因式，即原式=。
（五）本章所学的公式和法则都是既可正向运用又可逆向运用的。进行整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便。
例如： 。学会就变式运用或逆用乘法
公式，也能使运算简便。
例如：计算：。