初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形教学设计

这是一份初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形教学设计，共12页。教案主要包含了目标与策略，学习与应用，总结与测评等内容，欢迎下载使用。

一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
掌握尺规作图作角平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质和判定，并会利用角的平分线的性质和判定进行证明；
能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题。
重点难点：
重点：理解证明的基本过程 ，掌握用综合法证明的格式；三角形全等的性质和条件以及角平分线的性质。
难点：掌握用综合法证明的格式；选用合适的条件证明两个三角形全等。
学习策略：
通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。在三角形全等知识的基础上，探究理解角平分线的性质和判定，并通过练习加深本章知识的理解及灵活运用。
二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识网络
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。
知识点一：全等形
能够完全 的两个图形叫做全等形．
知识点二：全等三角形
能够完全 的两个三角形叫做全等三角形．
要点诠释：
（1）互相重合的顶点叫做 ，互相重合的边叫做
，互相重合的角叫做 ．
（2）在写两个三角形全等时，通常把 的字母写在对应位置上，这样容易写出对应边、对应角．例如，△ABC与△DFE全等，点A与点 ，点B与点 ，点C与点 是对应顶点，记作△ABC≌△DFE，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式．
知识点三：全等三角形的性质
全等三角形的对应边 、对应角 ．
知识点四：两个三角形全等的条件
（一）边角边：有 和它们的 对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．
注：运用边角边公理判定两个三角形全等时要抓住角是两边的夹角，边是夹这个角的两边，不要错误认为：两个三角形只要有两条边和一个角对应相等，这两个三角形就一定全等．
（二）角边角：有 和它们的 对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
（三）边边边： 对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
（四）角角边：两个 和其中一个角的 对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
（五）斜边、直角边（HL）：在两个直角三角形中， 和一条 对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
注：（1）HL定理是 三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
（2）判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另 个条件即可，而这两个条件中必须有 对应相等，与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．
知识点五：如何选定判定方法
（一）条件是一边、一角对应相等时，可选用SAS、AAS、 ．
（二）条件是两角对应相等时，可选用 、 ．
（三）条件是两边对应相等时，可选用 、 ．
（四）条件是直角三角形时，可选用 ，也可选用SAS、AAS、ASA 、SSS。
知识点六：角平分线
（一）角平分线的两种定义
（1）把一个角分成两个 的角的 叫做角的平分线．
（2）角的平分线可以看作是到角的两边 的点的集合．
（二）角平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的 ．
（三）角的平分线的判定定理
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 上．
经典例题-—自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。
类型一：三角形全等的应用
例1．如图：BE、CF相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF。求证：AB=AC。
思路点拨：挖掘并合理运用隐含条件：（1）隐含相等的线段：公共边、线段的和（或差）；（2）隐含相等的角： 公共角、对顶角、角的和或差。
解析：
总结升华：

举一反三：
【变式1】如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
答案：
【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC。
答案：
类型二：构造全等三角形
例2．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。你添加的条件是： 。
思路点拨：此题属于开放型题目，此类题目一般包括：条件开放型、结论开放型、综合开放型。此类题目的答案一般不唯一。本题答案就不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：① ，② ，③ ，
④ ，都可得 ，从而有AC=BD。
答案：
总结升华：

举一反三：
【变式1】如图，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E。由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论。（不要添加字母和辅助线，不要求证明）
结论1：
结论2：
结论3：
答案：
【变式2】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。所添条件 。你得到的一对全等三角形是
△ ≌△
解析：
类型三：角平分线的性质与判定
例3．已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
思路点拨：由CD⊥AB，BE⊥AC，可知∠ADC=∠AEB= °，又由OA平分∠BAC可知， ，再利用“ ”证明出△OBD≌△OCE，从而得到OB=OC．
证明：
总结升华：

举一反三：
【变式】如图，在中，，平分，，那么点到直线的距离是 cm．
答案：
类型四：三角形全等和角平分线的综合应用（常见辅助线的添法）
☆例4．如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=BD，求证：BD是∠ABC的平分线．
思路点拨：如果BD是∠ABC的角平分线，则应有 = ，根据已知条件，很难找到这两个角相等的直接条件，但可以延长 和 ，令其交于一点，先证出全等三角形，再利用全等三角形对应角相等解题．
证明：
总结升华：

举一反三：
☆【变式1】已知如图所示，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB．
解：
☆☆【变式2】如图所示，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF．
证明：

☆【变式3】如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠1=∠2，求证：AB=AC．
证明：
类型五：探究型题
例5．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1。
求证：△ABC≌△A1B1C1。
（请你将下列证明过程补充完整）
（2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
思路点拨：虽然已有三个条件，然而它们构不成三角形全等的条件。但至少提供了一边一角对应相等，另一条件只能通过作 来得到。
解析：
总结升华：

举一反三：
☆【变式1】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC。试判断△EMC的形状，并说明理由。
答案：
【变式2】已知Rt△ABC中，∠C=90°
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
①作∠BAC的平分线AD交BC于D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；
③连接ED。
（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：
△_______≌△_______并加以证明。
答案：
类型六：利用三角形全等知识解决实际问题
例6．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．边角边公理 B．角边角公理； C．边边边公理 D．斜边直角边公理
思路点拨：把实际问题转化成数学语言或数学符号，然后用学过的数学知识进行解答。
答案：
总结升华：

举一反三：
☆【变式】如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
（一）证明三角形全等的一般步骤及注意的问题
（1）先指明在哪两个三角形中研究问题．
（2）按边、角的顺序列出全等的 个条件，并用大括号括起来．
（3）写出结论，让两个全等三角形中表示对应顶点的字母顺序对齐．
（4）在证明中要步步有根据．
（二）三角形全等的一个应用
证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明两个三角形 来解决。