初中第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试教案设计

这是一份初中第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试教案设计，共22页。教案主要包含了提出问题，创设情境，探究新知，随堂练习，课堂小结，课后作业，小结与作业等内容，欢迎下载使用。

14．1.1 同底数幂的乘法

1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
重点
正确理解同底数幂的乘法法则．
难点
正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
一、提出问题，创设情境
复习an的意义：
an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．
(出示投影片)
提出问题：
(出示投影片)
问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？
[生]运算次数＝运算速度×工作时间，
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.
[师]1015×103如何计算呢？
[生]根据乘方的意义可知
1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.
[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．
二、探究新知
1．做一做
(出示投影片)
计算下列各式：
(1)25×22；
(2)a3·a2；
(3)5m·5n.(m，n都是正整数)
你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．
[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)
＝27＝25＋2.
因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得
a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.
5m·5n＝(5×5·…·5),\s\d4(m个5))×(5×5·…·5),\s\d4(n个5))＝5m＋n.
[生]我们可以发现下列规律：am·an等于什么(m，n都是正整数)？为什么？
(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；
(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
(出示投影片)
[师生共析]
am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
am·an＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝am＋n
于是有am·an＝am＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
[生]am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得am·an＝am＋n.
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
3．例题讲解
出示投影片
[例1]计算：
(1)x2·x5; (2)a·a6；
(3)2×24×23; (4)xm·x3m＋1.
[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．
生板演：
(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；
(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；
(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；
(4)解：xm·x3m＋1＝xm＋(3m＋1)＝x4m＋1.
[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．
解法一：am·an·ap＝(am·an)·ap
＝am＋n·ap＝am＋n＋p；
解法二：：am·an·ap＝am·(an·ap)＝am·an＋p＝am＋n＋p；
解法三：am·an·ap＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝am＋n＋p
归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．
[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？
[生]am1·am2·am3·…amn＝am1＋m2＋m3＋…mn.
[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．
2×24×23＝21＋4＋3＝28.
三、随堂练习
1．m14可以写成( )
A．m7＋m7 B．m7·m7
C．m2·m7 D．m·m14
2．若xm＝2，xn＝5，则xm＋n的值为( )
A．7 B．10 C．25 D．52
3．计算：－22×(－2)2＝________；
(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．
4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；
(2)106·105·10；
(3)x2·(－x)5；
(4)(a＋b)2·(a＋b)6.
四、课堂小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n(m，n是正整数)．
五、课后作业
教材第96页练习．
本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．
14．1.2 幂的乘方
1．知道幂的乘方的意义．
2．会进行幂的乘方计算．
重点
会进行幂的乘方的运算．
难点
幂的乘方法则的总结及运用．
一、复习引入
(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：
(2)计算：①a2·a5·an；②a4·a4·a4.
二、自主探究
1．思考：
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：
(1)(32)3＝32×32×32＝3( )；
(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a( )；
(3)(am)3＝am·am·am＝a( )．(m是正整数)
2．小组讨论
对正整数n，你认识(am)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？
幂的乘方(am)n＝am·am·am…amn个
＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))
＝amn
字母表示：(am)n＝amn(m，n都是正整数)
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
注意：
幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.
三、巩固练习
1．下列各式的计算中，正确的是( )
A．(x3)2＝x5 B．(x3)2＝x6
C．(xn＋1)2＝x2n＋1 D．x3·x2＝x6
2．计算：
(1)(103)5; (2)(a4)4；
(3)(am)2; (4)－(x4)3.
四、归纳小结
幂的乘方的意义：
(am)n＝amn.(m，n都是正整数)
五、布置作业
教材第97页练习．
运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．
14．1.3 积的乘方
1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
重点
积的乘方运算法则及其应用．
难点
幂的运算法则的灵活运用．
一、问题导入
[师] 提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103 cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生] 它的体积应是V＝(1.1×103)3 cm3.
[师] 这个结果是幂的乘方形式吗？
[生] 不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
[师] 积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．
二、探索新知
老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
(出示投影片)
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a( )b( )；
(2)(ab)3＝________＝________＝a( )b( )；
(3)(ab)n＝________＝________＝a( )b( )．(n是正整数)
2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．
3．解决前面提到的正方体体积计算问题．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．
5．完成教材第97页例3.
学生探究的经过：
1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；
(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)
＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；
(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab
＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝anbn.
2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是：(ab)n＝an·bn.(n是正整数)
3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．
通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：
(ab)n＝an·bn.(n为正整数)
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？
学生讨论后得出结论：
三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝an·bn·cn.(n为正整数)
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即an·bn＝(ab)n.(n为正整数)
分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于an·bn＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：
an·bn＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义
＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律
＝(a·b)n——乘方的意义
5．[例3]
(1)(2a)3＝23·a3＝8a3；
(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；
(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；
(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.
(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)
[师] 通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
(1)积的乘方法则：
积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝an·bn.(n为正整数)
(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝an·bn·cn；(n为正整数)
(3)积的乘方法则也可以逆用．即an·bn＝(ab)n，an·bn·cn＝(abc)n.(n为正整数)
三、随堂练习
1．教材第98页练习．
(由学生板演或口答)
四、课堂小结
(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？
五、布置作业
(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.
本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。实际问题情境的设置，在于让学生感受到研究新问题的必要性，带着问题思考本节课，更容易理解重点、突破难点．
14．1.4 整式的乘法(4课时)
第1课时 单项式乘单项式和单项式乘多项式
1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
2．会进行整式的混合运算．
重点
单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则及其应用．
难点
灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算．
一、复习导入
1．知识回顾：
回忆幂的运算性质：
am·an＝am＋n(m，n都是正整数)，
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(am)n＝amn(m，n都是正整数)，
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(ab)n＝anbn(n为整数)，
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
口答：
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述的内容作复习．
2．练一练
(a2)2＝____________；
(－23)2＝____________；
[(－eq \f(1,2))2]3＝____________；
(a3)2·a3____________；
23·25＝____________；
(eq \f(3,2)xy2)2＝____________；
(－eq \f(5,3))5(－eq \f(3,5))5＝____________．
二、探究新知
问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米？
注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢？学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：
(3×105)×(5×102)＝(3×5)×(105×102)＝15×107(为什么？)
在此处再问学生更加规范的书写是什么？应该是地球与太阳的距离约为1.5×108千米．
请学生回顾，我们是如何解决问题的．
问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗？
学生独立思考，小组交流．
注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．
ac5·bc2
＝(a·c5)·(b·c2)
＝(a·b)·(c5·c2)
＝abc5＋2
＝abc7.
注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．
[探究一]
类似地，请你试着计算：
(1)2c5·5c2；(2)(－5a2b3)·(－b2c)．
ac5和bc2，2c5和5c2，(－5a2b3)和(－4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法？
注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．算一算
例1：教材例4.
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则．分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．
例2 小民的步长为a米，他量得家里卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米？
注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．
4．辩一辩
教材第99页练习2.
注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
[探究二]
1．师生共同研究教材第99页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．
注：这个实际问题来源于学生的实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学习不难得到结论．
2．试一试
计算：2a2·(3a2－5b)．(根据乘法分配律)
注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．
3．想一想
从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘？
学生发言，互相补充后得出结论：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．做一做
教材例5.(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号)
注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
教材第100页练习．
三、课外巩固
1．必做题：教材第104～105页习题14.1第3，4题．
2．备选题：
(1)若(－5am＋1b2n－1)(2anbm)＝－10a4b4，则m－n的值为________；
(2)计算：(a3b)2·(a2b)3；
(3)计算：(3a2b)2＋(－2ab)(－4a3b)；
(4)计算：(－eq \f(5,2)xy)·(eq \f(2,3)xy2－2xy＋eq \f(4,3)y)．
本节课采用引导发现法．通过教师精心设计的问题链，引导学生将需要解决的问题转化成用已经学过的知识可以解决的问题，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，学生始终处在观察思考之中．
第2课时 多项式乘多项式
经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则，灵活运用多项式乘以多项式的运算法则．
重点
多项式乘法的运算．
难点
探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“负号”的问题．
一、情境导入
教师引导学生复习单项式×多项式运算法则．
整式的乘法实际上就是：
单项式×单项式；
单项式×多项式；
多项式×单项式．
组织讨论：问题 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
如何计算？小组讨论，你从计算过程中发现了什么？
由于(a＋b)(p＋q)和(ap＋aq＋bp＋bq)表示同一个量，
即有(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.
二、探索新知
(一)探索法则
根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：
在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则．
让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(二)例题讲解与巩固练习
1．教材例6计算：
(1)(3x＋1)(x＋2)；
(2)(x－8y)(x－y)；
(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
2．计算下列各题：
(1)(x＋2)(x＋3)；
(2)(a－4)(a＋1)；
(3)(y－eq \f(1,2))(y＋eq \f(1,3))；
(4)(2x＋4)(6x－eq \f(3,4))；
(5)(m＋3n)(m－3n)；
(6)(x＋2)2.
3．某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S.
练习点评：根据学生的具体情况，教师可选择其中几题，分析并板书示范，其余几题，可由学生独立完成．在讲解、练习过程中，提醒学生对法则的灵活、正确应用，注意符号，不要漏乘．
注意 一定要用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在计算时要注意多项式中每个单项式的符号．
三、课堂小结
指导学生总结本节课的知识点，学习过程的自我评价．主要针对以下方面：
1．多项式×多项式．
2．多项式与多项式的乘法．
用一个多项式中的每项乘另一个多项式的每一项，不要漏项．在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积．
四、布置作业
教材第102页练习题．
本节课由计算绿地面积出发，通过几种不同的计算图形面积方法，得出多项式相乘的法则，整个教学过程的主线和重点定在学生如何自主地探索多项式乘法法则的过程以及如何熟练运用法则解决问题，充分调动了学生学习的积极性．教师不仅是教给学生知识，还要重视学习方法的指导和培养．
第3课时 同底数幂相除
1．掌握同底数幂的除法的运算法则．
2．会用同底数幂的除法的法则进行计算．
重点
准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
难点
根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
一、问题导入
1．叙述同底数幂的乘法运算法则．
同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即am·an＝am＋n.(m，n是正整数)
2．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M(1M＝210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？
移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210＝216K.所以它能存储这种数码照片的数量为218÷28.
218，28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？
二、探究新知
请同学们做如下运算：
1．(1)28×28；(2)52×53；(3)102×105；(4)a3·a3.
2．填空：
(1)( )·28＝216；(2)( )·53＝55；
(3)( )·105＝107；(4)( )·a3＝a6.
除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于：
(1)216÷28＝( )；(2)55÷53＝( )；
(3)107÷105＝( )；(4)a6÷a3＝( )．
再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：
(1)28；(2)52；(3)102；(4)a3.
其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论．
(1)216÷28＝ (2)55÷53＝
(3)107÷105＝ (4)a6÷a3＝
从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？
am÷an＝am－n.(a≠0，m，n都是正整数，且m≥n)
三、例题讲解
例1(教材例7) 计算：
(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.
解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6；
(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.
例2 先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an＝am－n的方法计算，你能得出什么结论？
(1)32÷32＝( )；(2)103÷103＝( )
(3)am÷am＝( )(a≠0)．
解：先用除法的意义计算．
32÷32＝1；103÷103＝1；am÷am＝1(a≠0)．
再利用am÷an＝am－n的方法计算．
32÷32＝32－2＝30；
103÷103＝103－3＝100；
am÷am＝am－m＝a0(a≠0)．
这样可以总结得a0＝1(a≠0)．
于是规定：
a0＝1(a≠0)，
即 任何不等于0的数的0次幂都等于1.
四、课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
师生共同总结：(1)同底数幂相除，底数不变，指数相减；(2)任何不等于0的数的0次幂都等于1.
五、布置作业
教材第104页练习第1题．
同底数幂的除法的主要内容是根据除法是乘法的逆运算，从计算具体的同底数的幂的除法，到计算底数具有一般性的字母，逐步归纳出同底数幂除法的法则，并运用法则熟练、准确地进行计算．本节课是在学习了幂的乘方、积的乘方的基础上进行的，它们构成一个有机整体，为后续的整式除法的学习打下基础．
第4课时 整式的除法
1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．
2．多项式除以单项式的运算法则及应用．
重点
单项式除以单项式的运算法则及其应用；多项式除以单项式运算法则及其应用．
难点
探索多项式与单项式相除的运算法则的过程．
一、情境导入
问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.08×1021吨，你知道木星的质量约是地球质量的多少倍吗？
重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．
二、探究新知
1．探索法则
(1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么？
(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗？
8a3÷2a；6x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2.
(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗？
教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．
2．归纳法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
3．应用新知
(1)28x4y2÷7x3y；
(2)－5a5b3c÷15a4b.
首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这里省去了括号，对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成．口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则．
4．巩固新知
教材第104页练习第2题．
学生自己尝试完成计算题，同桌交流．
5．再探新知
计算下列各式：
(1)(am＋bm)÷m；
(2)(a2＋ab) ÷a；
(3)(12a3－6a2＋3a)÷3a.
①说说你是怎样计算的．
②还有什么发现吗？
在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同．
6．归纳法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
你能把这句话写成公式的形式吗？
7．解决问题
计算：
(1)(21x4y3－35x3y2＋7x2y2)÷(－7x2y)；
(2)[(x＋y)2－y(2x＋y)－8x]÷2x.
幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．
8．巩固提高
教材第104页练习第3题．
利用投影仪反馈学生解题过程．
三、布置作业
1．必做题：教材第105页习题14.1第6题．
2．备选题：下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？
(1)－4ab2÷2ab＝2b；
(2)(14a3－2a2＋a)÷a＝14a2＝2a.
这节课可以说学生动的多，教师讲的少．学生的主体地位体现的还算可以．主要是以学生的活动为主的，基本符合新课改精神．课堂上教师的指导提示基本到位，学生能够在教师的指导下进行活动，完成了教学任务．
14．2 乘法公式
14．2.1 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
重点
平方差公式的推导和应用．
难点
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、设问引入
探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？
(1)(x＋1)(x－1)；
(2)(m＋2)(m－2)；
(3)(2x＋1)(2x－1)．
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．
二、举例分析
再举几个这样的运算例子．
让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．
三、归纳概括
计算(a＋b)(a－b)．
让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式．
然后，教师系统总结平方差公式．
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
语言叙述：________________．
教师引导学生归纳这个公式的一些特点：如公式左、右两边的结构，教给学生记忆公式的方法．
四、应用新知
教材例1 运用平方差公式计算：
(1)(3x＋2)(3x－2)；
(2)(－x＋2y)(－x－2y)．
填表：
对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式；第二小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．
教材例2 计算：
(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；
(2)102×98.
此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．
五、巩固练习
教材第108页练习第1，2题．
第1题口述完成；
第2题采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．
六、小结与作业
谈一谈：你这节课有什么收获？
作业：教材第112页习题14.2第1题．
平方差公式是特殊的整式的乘法，运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果，运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，这两个数分别是什么，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字母，单项式，也可以代表多项式．
14．2.2 完全平方公式
1．完全平方公式的推导及其应用．
2．完全平方公式的几何解释．
重点
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
难点
理解完全平方公式的结构特征，并能灵活应用公式进行计算．
一、复习引入
你能列出下列代数式吗？
(1)两数和的平方；(2)两数差的平方．
你能计算出它们的结果吗？
二、探究新知
你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括；
举例：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________；
(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________；
(3)(m＋2)2＝________________；
(4)(m－2)2＝________________．
通过几个这样的运算例子，让学生观察算式与结果间的结构特征．
归纳：公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍．这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式．
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．
还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释：
(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
三、举例应用
1．教材例3：运用完全平方公式计算：
(1)(4m＋n)2；(2)(y－eq \f(1,2))2.
解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2
＝16m2＋8mn＋n2；
(2)(y－eq \f(1,2))2＝y2－2·y·eq \f(1,2)＋(eq \f(1,2))2
＝y2－y＋eq \f(1,4).
可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．
2．教材例4：运用完全平方公式计算：
(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22
＝10 000＋400＋4
＝10 404；
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12
＝10 000－200＋1
＝9 801.
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
四、再探新知
1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－2ab＋b2.
五、思考讨论
(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？
组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．
六、巩固拓展
教材例5：运用乘法公式计算：
(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.
解：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)
＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]
＝x2－(2y－3)2
＝x2－(4y2－12y＋9)
＝x2－4y2＋12y－9；
(2)(a＋b＋c)2
＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照，其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公式．
在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
七、课堂小结
谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)，第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的左边，它是正确应用公式的前提．
14．3 因式分解
14．3.1 提公因式法
1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．
2．了解公因式概念和提取公因式的方法．
3．会用提取公因式法分解因式．
重点
会用提取公因式法分解因式．
难点
如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
一、问题导入
同学们，我们先来看下面两个问题：
1．630能被哪些整除，说说你是怎样想的？
2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值．
对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a＝101，b＝99代入进行计算，但如果应用平方差公式应先把a2－b2变形成(a＋b)·(a－b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简捷．
通过对上面两个问题的解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便．
二、探究新知
1．教材第114页的“探究”．
要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔．
2．提出因式分解的概念．
利用教材中的因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的两种不同的变形，并强调它们的特点．下列由左到右的变形，是否是因式分解，为什么？
(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；
(2)x2－4＝(x＋2)(x－2)；
(3)x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x.
[探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系，对因式分解的概念的建立很有必要．通过这次练习强化因式分解的概念]
3．提公因式法
研究多项式pa＋pb＋pc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．
让学生体验：
pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)从左到右是怎样得到的，你能对ax＋2ay进行类似的变形吗？
三、举例分析
例1 把8a3b2＋12ab3c分解因式．
分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后依照教材进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证．
练习 用提公因式法分解因式：
(1)3mx－6nx2；
(2)4a2b＋10ab－2ab3.
例2 把2a(b＋c)－3(b＋c)因式公解．
分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察，从而发现把b＋c看作一个“整体”时公因式就是b＋c，再用提公因式法进行分解．
例3 计算：0.84×12＋12×0.6－0.44×12.
让学生观察并分析怎样计算更简单．
思考：说说例1、例2和例3的公因式有什么不同？
四、巩固练习
1．完成教材第115页练习第1，2，3题．
2．讨论：怎样检查因式分解是否正确？提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系？
五、小结提高
1．举一个例子说说什么是因式分解．
2．什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？
3．说说提公因式法的一般步骤．
(1)确定提取的公因式；(2)用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的积的形式．
六、布置作业
1．教材第119页习题14.3第1题．
2．备选题：(1)下列提公因式法分解因式是否正确，为什么？若不正确，请写出正确答案．
①－25a2x2－20a3x2＝－5ax(5x－4ax)；
②2a(x－y)3－3b(y－x)2＝(x－y)2[2a(x－y)＋3b]．
(2)用提公因式法分解因式．
①a2b－ab2；
②－eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)xy；
③－2p2(p2＋q2)＋6pq(p2＋q2)；
④5a(x－y－z)－2bx＋2by＋2bz.
在学习提取公因式时首先让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成，并且引导学生得出提公因式法这一因式分解的方法其实就是将被分解的多项式除以公因式得到余下的因式的计算过程．此处的意图是充分让学生自主探索，合作学习，得出结论．接着通过例题讲解，最后让学生自主完成练习题，老师当堂讲评．
14．3.2 公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点．
2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点
应用平方差公式分解因式．
难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？
问题2：你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点？
对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系．
对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式．
即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．
例1 分解因式：
(1)4x2－9；
(2)(x＋p)2－(x＋q)2.
分析：注意引导学生观察这2个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解．
能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为( )2－( )2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(2)题中应是多项式．
例2 分解因式：
(1)x4－y4；(2)a3b－ab.
分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解；
(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解．
学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用．
二、巩固练习
完成教材第117页练习第1，2题．
第1题对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理．
第2题是用提公因式法和应用平方差公式进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．
注意：要将因式分解进行到不能再分解为止．
三、课堂小结
1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．
2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤．
3．谈谈多项式分解的注意点．
四、布置作业
1．必做题：教材第119页习题14.3第2题，第4(2)题．
2．备选题：
(1)下面的因式分解是否正确，为什么？若不正确请写出正确答案．
①m2＋n2＝(m＋n)2；
②m2－n2＝(m－n)2.
(2)分解因式：
①x3－9x；②(a2＋b2)2－4a2b2；
③(y2－4)2－6(y2－6)＋9.
(3)用简便方法计算：
①16eq \f(1,7)×15eq \f(6,7)；
②1 9992－3 998×1 998＋19982；
③2992＋599.
在新课引入的过程中，首先让学生回忆前面的乘法公式，接着就让学生利用平方差公式做三个整式乘法的运算．然后将刚才用平方差公式计算得出的三个多项式作为因式分解的题目请学生尝试一下，学生轻而易举地讲出是将原来的平方差公式反过来运用，马上使学生形成了一种逆向的思维方式．之后就能顺利通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解．
第2课时 完全平方公式
1．理解完全平方公式的特点．
2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．
3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．
重点
用完全平方公式分解因式．
难点
灵活应用公式分解因式．
一、复习引入
1．叙述平方差公式，并写出公式．
2．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x2； (2)x3－xy2；
(3)m4－1; (4)ab(x－y)3＋ab3(y－x)．
3．填空：
(1)(a＋b)2＝________； (2)(a－b)2＝________．
二、探究新知
完全平方式与完全平方公式
(1)公式：
把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和(a－b)2＝a2－2ab＋b2反过来，就可以得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式．
上面两个公式叫做完全平方公式．
(2)完全平方式的形式和特点；
①项数：三项；
②有两项是两个数的平方和，这两项的符号相同；
③有一项是这两个数的积的两倍．
(3)例子：
把x2＋6x＋9和4x2－20x＋25因式分解．
显然，它们不能用学过的方法，可以用完全平方公式分解吗？
三、应用举例
1．(1)提问：式子x2－4x＋4，1＋16a2，4x2＋4x－1，x2＋xy＋y2，m2＋2nm＋n2是不是完全平方式？
(2)填空：
m2＋(____)＋4＝(m＋2)2，m2＋(____)＋4＝(2－m)2，a2b2－(____)＋eq \f(1,4)＝(ab－eq \f(1,2))2；
(3)判断下列式子分解因式是否正确：x2＋2x－1＝(x－1)2；－2ab＋a2＋b2＝(－a＋b)2；2x2－4xy＋y2＝(2x－y)2；x2＋x＋eq \f(1,4)＝(x＋eq \f(1,2))2；－a2＋2ab－b2＝(－a＋b)2；4a2＋6ab＋9b2＝(2a＋3b)2.
2．例题
例1 把16x2＋24x＋9和－x2＋4xy－4y2因式分解．
提问：利用完全平方公式来分解因式的关键是看多项式是否符合公式的特点，此题符合吗？
课堂练习：
把下列各式因式分解：
(1)x2＋2x＋1; (2)4a2＋4a＋1；
(3)1－6y＋9y2; (4)1＋m＋eq \f(m2,4).
例2 分解因式：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
提问：(1)中有公因式吗？如果把(2)中(a＋b)看作一个整体怎样因式分解？
练习：
把下列各式因式分解：
(1)－x2＋2xy－y2; (2)－4－9a2＋12a；
(3)－a2－4ab－4b2; (4)－25x2－30xy－9y2.
四、课堂小结
(1)分解因式前注意式子是否符合公式的形式和特点；
(2)平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面．
五、布置作业
教材第119页习题14.3第3题．
完全平方公式的结构特点：等号左边是一个二项式的平方，等号右边记作：首平方，尾平方，2倍之积中间放．逆用完全平方公式进行因式分解只需要“颠倒使用”即可：等号右边作为“条件”，左边作为“结果”，但对学生来说，还是相当困难的．教学过程中要多讲多练方可达到效果．
(a＋b)(a－b)
a
b
a2－b2
最后结果
(3x＋2)(3x－2)
2
(3x)2－22
(x＋2y)(－x－2y)