人教版八年级上册第十五章 分式综合与测试教案

分式单元复习与巩固

一、目标与策略

  明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

        以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．

        类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．

        类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．

        结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．

        结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．

重点难点：

        重点：分式的基本性质；分式的四则运算；分式方程的解法．

        难点：分式的四则混合运算；根据实际问题列出分式方程．

学习策略：

        经历分式方程概念、分式方程的解法过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会本章中蕴含的主要数学思想——转化思想和类比思想．

二、学习与应用

知识点一：分式的有关概念及性质

（一）分式的定义：设A、B表示两个              ．如果B中含有             ，

式子就叫做分式．注意分母B的值不能为           ，否则分式没有意义。

注：判断一个代数式是否是分式，主要看分式的           是否含有未知数。另外不能把原式           （如约分等）后再进行判断，而只能根据它的本来面目进行判

断。例如：对于来说，，我们不能因为是           ，就判断也是整式，事实上是            。

（二）最简分式：分子与分母没有            的分式叫做最简分式。

注：如果分子分母有公因式，要进行          化简。

（三）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于          的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：

（M为不等于零的整式）。

知识点二：分式的运算

（一）基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:

；

（二）零指数

。

（三）负整数指数

（四）约分

把一个分式的分子和分母的             约去，这种变形称为分式的约分．

注：

（1）约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，同时把分子分母中系数的                约去；

（2）约分的依据是                  ；

（3）若分式的分子、分母中有多项式，则要先                 ，再约分．

（4）当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：（其中n为自然数）。

（5）分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。

（五）通分

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

注：

（1）通分的关键是确定                    ，最简公分母应为各分母系数的
                与所有相同因式的最高次幂的积；

（2）不要把通分与去分母混淆，通分的依据是                   ，去分母的依据                  ．

（六）分式的加减法法则

（1）同分母的分式相加减，             不变，把分子相             ；

（2）异分母的分式相加减，先_             ，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．

（七）分式的乘除法法则

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式             ．

注：

（1）在分式的乘法运算中，当分子和分母都是单项式时，此时乘法运算可以直接运用法则计算；

（2）分子、分母是多项式时，要先分解因式，看能否            ，然后再乘；

（3）分式的除法可以统一成分式的乘法；

（4）分式乘除法中的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同。

（八）分式的混合运算顺序

先算             ，再算             ，最后算加减，有括号先算括号里面的．

注：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简。

知识点三：分式方程

（一）分式方程的概念

分母中含有未知数的             叫做分式方程．

（二）分式方程的解法

解分式方程的关键是             ,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为             方程．

注：解分式方程必须           ，          时把整式方程的根代入             ，使最简公分母不等于       的根是原方程的根，使最简公分母等于       的根是原方程的增根。

（三）分式方程的增根问题

（1）增根的产生：分式方程本身隐含着         不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围       了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为       ，那么就会出现不适合原方程的根——增根；

（2）验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．

知识点四：分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

类型一：分式的定义及其基本性质

例1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　）

A．　　　B．　　　C．　　　D．

思路点拨：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于      。即若是一个分式，则有意义          。当x＝0时，x2＝0，所以选项          不是；

当x＝          时，2x＋1＝0，所以选项          不是；因为x2≥0，所以x2＋1＞0，即不论x为何实数，都有x2＋1≠0，所以选项          是；当x＝       
时，｜x｜－1＝0，所以选项          不是。

答案：

总结升华：                                                                
                                                                         。

例2．若分式的值等于零，则x＝          ；

分析：根据分式的值为零的条件，即：如果是一个分式，且＝0可以得到                    .

解析：

总结升华：                                                                
                                                                         。

例3 ．求分式的最简公分母。

思路点拨：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数          ；对于三个分式的分母中的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂          ，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂          ，再取字母z﹒所以三个分式的公分母为                 。

指出：12x3y4z ，24x6y6z，48x5y9z，……都是上述三个分式的公分母，其中   
       是这些公分母中最简单的一个，称为最简公分母。

解析：

总结升华：                                                                
                                                                         。

举一反三：

【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（　　）

A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．±1

（2）当x          时，分式没有意义．

答案：

【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（　　）

A．   B．

C．   D．

答案：

类型二：分式的运算技巧

（一）通分约分

例4．化简分式:

思路点拨：本题若通过常规方法：各分式分别通分计算非常复杂；根据分式特征，可通过          化简分式后再计算，这是分式计算常用的技巧．我们在通分之前，先要观察分式的特征，多项式能先因式分解的要因式分解，能先          化简的尽量先约分以达到简便计算的目的．

解析：

总结升华：                                                                
                                                                         。

举一反三：

【变式1】顺次相加法

计算：

答案：

【变式2】整体通分法

计算：

答案：

（二）裂项或拆项或分组运算

例5．巧用裂项法

计算：

思路点拨：本题出现了          个分式相加，无法直接通分；而本题分式的特征比

较特殊，事实上分式，凡是符合上述特征的分式都可适用

此法，裂项后便可以相互抵消，起到简便运算的功效．

解析：

总结升华：                                                                
                                                                         。

举一反三：

☆【变式1】分组通分法

计算：

答案：

注：当出现三个以上异分母分式相加减时，可考虑          通分法，分组的原则是使分组后各组运算的结果出现分子是          、          或          关系，这样才能使运算简便．

【变式2】分子降次法

计算：

答案：

注：本题如果先通分，运算量非常大，考虑到分子分母是齐次多项式，把分子
          化简后，分式就相当简单，起到简便运算的效果．

类型三：条件分式求值的常用技巧

例6．参数法

已知，求的值．

思路点拨：当已知条件为形如的连比等式，所要求值的分式是一个含有

而又不易化简的分式时，通常设                    ，将其变形为                    ,然后再代入分式求值．

解析：

总结升华：                                                                
                                                                         。

举一反三：

☆【变式1】整体代入法

已知，求的值。

答案：

【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．

已知：，求的值．

答案：

☆☆【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．

已知：，求的值．

答案：

类型四：解分式方程的方法

解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．

（一）与异分母相关的分式方程

例7．解方程=

思路分析：等号两边只有一个分式时，使用                    的方法。

解析：

总结升华：                                                                
                                                                         。

举一反三：

【变式】解方程：=－3

答案：

【变式2】解关于x的方程+=+（a≠b）

答案：

（二）与同分母相关的分式方程

例8．解方程=2+

思路点拨：如果有同分母分式，先进行                    的加减法。

解析：

总结升华：                                                                
                                                                         。

举一反三：

【变式1】解方程－=8

答案：

【变式2】解方程+=1

答案：

类型五：分式（方程）的应用

☆例9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖。甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？

思路分析：平均价格是                                        。由于两次买糖

的价格不一样，可设两次的价格分别为x、y（单位：元/斤），只要列出代数式表示甲、乙两人买糖的平均价格，用作差的方法即可。

解析：

总结升华：                                                                
                                                                         。

举一反三：

【变式1】甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？

答案：

☆☆【变式2】A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度．

答案：

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

（一）分式的概念需注意的问题

（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有_______的作用；

（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．

（二）约分需明确的问题

（1）对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；

（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的_______，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；

（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．

（三）确定最简公分母的方法

（1）最简公分母的系数，取各分母系数的____________________；

（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的_______________________.

（四）列分式方程解应用题的基本步骤

（1）审——仔细审题，找出等量关系；

（2）设——合理设未知数；

（3）列——根据等量关系列出方程；

（4）解——解出方程；

（5）验——检验增根；

（6）答——答题。