初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称教案

这是一份初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称教案，共10页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，目标检测等内容，欢迎下载使用。
  13.1.2线段的垂直平分线的性质   一、内容和内容解析1．内容线段垂直平分线的性质和判定,会画轴对称图形的对称轴.2．内容解析线段的垂直平分线的有关知识在今后学习中经常要用到,要注意让学生理解和掌握. 在这里,只要求结合图形说明线段垂直平分线是到两个端点距离相等的点的集合,同时说明,这条直线包含了满足条件的所有点.本节从探究出发,先让学生自己进行测量、猜想,然后利用轴对称图形的对折得到了这个性质,并应用三角形全等的方法作了证明.对于线段垂直平分线性质定理的逆定理,则让学生自己给出证明,这就经历了观察、探究、猜想,证明的完整过程,感受了证明的必要性. 接下来,讨论了如何作出成轴对称的两个图形或一个轴对称图形的对称轴的问题.结合作出两点的对称轴,给出了线段垂直平分线的尺规作图. 对于一个轴对称图形,只要找到其任意一对对称点,作出所连线段的垂直平分线就可以得到它的对称轴.基于以上分析,确定本节课的教学重点:线段垂直平分线的性质和判定,以及会画轴对称图形的对称轴.二、目标和目标解析1．目标(1)探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端的距离相等; 反之,与线段两个端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，并能灵活解题.  (2)会作轴对称图形的对称轴.2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生探究和证明,得出线段垂直平分线的性质和判定.学生能根据线段垂直平分线的性质和判定,完成例题和练习作答.达成目标（2）的标志是：学生利用线段垂直平分线的性质,画出两个图形成轴对称和轴对称图形的对称轴．三、教学问题诊断分析学生在探究基础之上,了解了线段垂直平分线的性质和判定,但是否能够运用性质灵活解题,还要加强训练.教学时,教师要充分利用具体图形,让学生获得感性认识,进而灵活的运用线段垂直平分线性质解题.本节课的教学难点是: 灵活运用线段垂直平分线性质解题.四、教学过程设计1．引入新知问题1如图,直线 l 垂直平分线段 AB, P1, P2, P3, …是 l 上的点,分别量一量点 P1 , P2 , P3 , …到点A与点B的距离,你有什么发现?     师生活动：学生通过观察，可以发现,点 P1 , P2 , P3 , …到点 A 的距离与它们到点 B 的距离分别相等.如果把线段 AB 沿直线 l 对折,线段 P1A 与 P1B、线段 P2A 与 P2B、线段 P3A 与 P3B …都是重合的,因此它们也分别相等.由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.设计意图：让学生通过观察图片,感知具体的轴对称图形的特征,为得出线段垂直平分线性质作铺垫.2.探究新知问题2  利用判定两个三角形全等的方法，可以证明吗?师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.如图，直线 l⊥ AB，垂足为 C， AC = CB，点 P 在 l 上.求证 PA = PB.证明: ∵  l ⊥ AB， ∴   ∠PCA = ∠PCB. 又   AC = CB， PC = PC,  ∴  △PCA ≌ △PCB  (SAS). ∴   PA = PB.由此我们通过证明可以得出线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.设计意图:让学生通过前面的实践操作,再结合全等的判定方法,证明实践探究的结果,体现了数学从具体形象到抽象的过程,通过猜想,推理证明,学生记忆效果好.追问1：反过来，如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？你能证明这个结论吗？师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.证明:过点 P 作 PC ⊥ AB， 垂足为 C. ∵ PC ⊥ AB，∴  ∠PCA = ∠PCB=90 °.又  PA = PB, PC = PC，∴  Rt △PCA ≌ Rt △PCB  (HL）.∴  AC = BC.∴  PC 是线段 AB 的垂直平分线.通过证明可以得到：    与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 设计意图:让学生通过猜想,推理证明,学生发现猜想成立的过程,这样记忆效果好.体现数学来源于实践.3.巩固新知 例1 尺规作图: 经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知: 直线 AB 和 AB 外一点 C. 求作: AB 的垂线，使它经过点 C.作法:(1)任意取一点 K, 使点 K 和点 C 在 AB 的两旁.  (2) 以点C 为圆心, CK 长为半径作弧,交AB 于点D 和 E.   (((3)分别以点 D 和点 E 为圆心,大于     的长为半径作弧, 两弧相交于点F.     (4)作直线CF. 直线 CF 就是所求作的垂线. 设计意图:利用线段垂直平分的判定方法解题，加深对它的理解.追问2：想一想,为什么直线 CF 就是求作的垂线？师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.∵ CD = CE,∴ 点 C 在 DE 的垂直平分线上. ∵ DF=EF,∴ 点 F 在 DE 的垂直平分线上.∴ CF 垂直平分 DE.设计意图: 线段垂直平分线的判定方法的应用,加强学生尺规作图的训练..思考 两个平面图形是轴对称的, 不折叠图形你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗?师生活动:学生尝试利用轴对称的性质:对称轴垂直平分对称点所连线段.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴.设计意图: 轴对称图形性质的应用,为后面尺规作图做铺垫.例2如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？   师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.分析:我们只要连接点 A 和点 B , 作出线段 AB 的垂直平分线, 就可以得到点 A 和点 B 的对称轴. 为此作出到点 A, B 距离相等的两点, 即线段 AB 的垂直平分线上的两点, 从而作出线段 AB 的垂直平分线.作法：如图（1）分别以点 A和点B 为圆心，大于的长为半径作弧(想一想为什么)，两弧相交于 C，D 两点；（2）作直线 CD．CD 就是所求作的直线.设计意图:线段垂直平分线的判定定理的应用,加强学生尺规作图的训练.追问：轴对称图形如何确定此图的对称轴？师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.如图, 我们可以找出它的一对对应点 A 和 A′, 连接 AA′, 作出线段 AA ′的垂直平分线 l, 则 l 就是这个五角星的一条对称轴.类似地, 你能作出这个五角星的其他对称轴吗?4. 当堂训练练习 如图，AB=AC，MB=MC，直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.解： ∵AB=AC，MB=MC，∴A、M 是线段 BC 的垂直平分线的点.即直线AM是线段BC的垂直平分线.设计意图:培养学生的逻辑思维能力,加强学生对线段中垂线的判定理解.练习  如图， AD ⊥ BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与 DE 有什么关系？师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.解：AB = AC = CE ，AB + BD = DE.∵ AD ⊥ BC，BD = DC，∴ AB = AC.∵ 点 C在 AE 的垂直平分线上，∴  AC = CE. ∴  AB = AC = CE . ∴ AB+BD = DC+CE.   即 AB + BD = DE.设计意图:培养学生的逻辑思维能力,加强学生对线段中垂线的性质理解.练习 如图，AD 与BC 相交于点O，OA = OC，∠A =∠C，BE = DE．求证：OE 垂直平分BD．师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果证明： ∵ OA = OC，∠A =∠C， ∠1 =∠2， ∴  △AOB ≌ △COD  (ASA)，∴ OB = OD，又   BE = DE， ∴O，E 是线段BD 的垂直平分线的点.即OE 垂直平分线BD.设计意图:培养学生的逻辑思维能力,结合前面全等的知识，加强学生对线段中垂线的判定理解，提高学生综合运用知识的能力.练习 如图, 在 △ABC 中,边 AB, BC 的垂直平分线相交于点P. (1)  求证 PA = PB = PC;  (2)  点 P 是否也在边  AC 的垂直平分线上?由此你还能得出什么结论?师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.证明：（1）∵ 边 AB, BC 的垂直平分线相交于点 P, ∴ PA = PB, PC = PB. ∴ PA = PB = PC.（2） ∵ PA = PC ∴点 P 在边  AC 的垂直平分线上. 设计意图:加强学生对线段中垂线性质和判定的综合应用，灵活解题.练习  如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？      设计意图: 加强学生对线段中垂线性质理解.练习  如图, 电信部门要在 S 区修建一座电视信号发射塔按照设计要求, 发射塔到两个城镇 A, B 的距离必须相等,到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置? 在图上标出它的位置.师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.设计意图:加强学生对对称轴是线段中垂线和角平分线的性质认识，熟悉尺规作图的方法.5.小结（1）线段垂直平分线的性质是什么？反之成立吗？     线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等; 反之成立.即与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. （2）如何画轴对称图形或两个图形关于一条直线的对称轴呢？ 在图形上取一对对称点,做对称点连线的垂直平分线即可.设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心线段的垂直平分线的性质和判定,以及如何尺规作图作出对称轴.6．布置作业教科书第65至第66页习题13.1第6, 7, 8题.               五、目标检测   1.如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，那么AC＝_________.   设计意图:考查学生对线段中垂线性质的理解.2.已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数_________.设计意图:考查学生对线段中垂线性质和角平分线定义的理解.3.如图，在△ABC 中，BC =8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE 的周长等于______．  设计意图:考查学生对线段中垂线性质的理解. 4.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？       设计意图:考查学生对线段中垂线性质和角平分线定义的理解.