高中数学5.3 诱导公式教案

这是一份高中数学5.3 诱导公式教案，文件包含专题21诱导公式讲原卷版doc、专题21诱导公式讲解析版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共18页， 欢迎下载使用。


1．诱导公式二
2．诱导公式三
3．诱导公式四
特别提醒：1.公式一～四中的角α是任意角．
2．公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα．
3．诱导公式的作用
(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题．
(2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数．
(3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
4．诱导公式五、六如下表：
[知识点拨]1.对诱导公式五、六的两点说明
(1)诱导公式五、六反映的是角eq \f(π,2)±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
2．对诱导公式一～六的两点说明
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
(2)公式一～六的记忆口决和说明
①口诀：奇变偶不变，符号看象限．
②说明：
1．如果sinα，α为第三象限角，则sin（α）＝ ．
【解析】解：∵sinα，α为第三象限角，
∴csα，
则sin（α）＝﹣csα．
故答案为：．
2．sin的值为 ．
【解析】解：sinsin（2π）＝﹣sin．
故答案为：
3．计算sin330°＝ ．
【解析】解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°．
故答案为：
4．已知：，则 ．
【解析】解：因为，
∴sinθ．
∵
2（﹣tanθ）•（﹣csθ）
＝﹣sinθ+2sinθ
＝sinθ．
故答案为：．
5． ．
【解析】解：sin（2π）cs（4π）＝sincs．
故答案为：．
重要考点一：利用诱导公式解决给角求值问题
【典型例题】sin（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：sinsin（673π）＝sin（π）＝﹣sin，
故选：C．
【题型强化】已知，则sin（270°﹣α）＝（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：∵，
∴sin（270°﹣α）＝﹣csα．
故选：B．
【收官验收】若sin1000°＝a，则cs10°＝（ ）
A．﹣aB．C．aD．
【解析】解：因为sin1000°＝sin（360°×3﹣80°）＝sin（﹣80°）＝﹣sin80°＝﹣cs10°＝a，
所以cs10°＝﹣a．
故选：A．
【名师点睛】
利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
重要考点二：三角函数式的化简问题
【典型例题】若α为第二象限角，sin（α），
（1）求sinα的值；
（2）若f（α），求f（α）的值．
【解析】解：（1）∵α为第二象限角，sin（α）＝csα，
∴sinα；
（2）∵f（α）sinα，
∴f（α）．
【题型强化】已知f（α）．
（1）若α，求f（α）值；
（2）若α为第三象限角，且，求f（α）的值．
【解析】解：（1）由于，
又，
所以f（α）．
（2）因为，
又因为α 为第三象限角，
所以．
【收官验收】已知α是锐角，且f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若cs（απ），求f（α）的值．
【解析】解：（1）f（α）csα．
（2）∵cs（απ）＝﹣sinα，
∴sinα，可得csα，
∴f（α）＝﹣csα．
【名师点睛】
三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．
重要考点三：已知某三角数函数式的值求其他三角函数式的值(给值求值)
【典型例题】已知sinα，α∈（，π）．
（1）求csα，tanα；
（2）求的值．
【解析】解：（1）∴已知sinα，α∈（，π），∴csα，
∴tanα．
（2）cs2α．
【题型强化】若角α的终边上有一点P（m，﹣8），且csα．
（1）求m的值；
（2）求的值．
【解析】解：（1）点P到原点的距离为 r＝|OP|，
根据三角函数的概念可得csα，解得 m＝﹣6，或 m＝6（舍去）．
（2）sinα，
由（1）可得 r10，sinα，
∴原式＝﹣sinα．
【收官验收】已知，求下列各式的值：
．
（2）sin2α+2sinαcsα．
【解析】解：，
∴﹣sinα＝﹣2csα，即sinα＝2csα，
则原式；
（2）∵sinα＝2csα，即tanα＝2，
∴原式．
【名师点睛】
解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
重要考点四：证明三角恒等式的方法
【典型例题】证明下列三角恒等式：
（1）1；
（2）．
【解析】证明：（1）左边1＝右边，得证．
（2）左边，
右边，
可得左边＝右边，得证．
【题型强化】（1）化简：sin2αtanα2sinαcsα；
（2）若α为第二象限的角，证明：tanα．
【解析】解：（1）sin2αtanα2sinαcsα
2sinαcsα


．
（2）证明：∵α为第二象限的角，sinα＞0，csα＜0，
∴左边



＝tanα＝右边，得证．
【收官验收】求证：tanα．
【解析】证：tanα
【名师点睛】
(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
重要考点五：分类讨论思想在三角函数化简中的应用
【典型例题】已知，f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若，求tanα．
【解析】解：（1）f（α）sinα．
（2）∵，
∴sin（α），可得csα，
∴α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sinα，tan，
当α是第三象限角时，sinα，tan．
【题型强化】化简计算：
（1）已知tanx＝2，计算；
（2）化简sin（α）cs（α﹣π）﹣cs（α﹣2π）cs（π+α）．
【解析】解：（1）∵已知tanx＝2，∴．
（2）sin（α）cs（α﹣π）﹣cs（α﹣2π）cs（π+α）＝csα（﹣csα）﹣csα（﹣csα）＝0．
【收官验收】已知α是第四象限角，f（α）．
（1）化简f（α）．
（2）若cs，求f（α）的值．
【解析】解：（1）f（α）．


＝﹣csα．
（2）因为cs（）
＝cs（）
＝﹣sinα，
所以sinα．
因为α是第四象限角，
所以csα，所以f（α）＝﹣csα．
【名师点睛】
1.本题型化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．
知识点课前预习与精讲精析
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sinα cs(π＋α)＝－csα
tan(π＋α)＝tanα
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sinα cs(－α)＝csα
tan(－α)＝－tanα
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π－α)＝sinα cs(π－α)＝－csα
tan(π－α)＝－tanα
公式五
sin(eq \f(π,2)－α)＝csα
cs(eq \f(π,2)－α)＝sinα
公式六
sin(eq \f(π,2)＋α)＝csα
cs(eq \f(π,2)＋α)＝－sinα
公式五和公式六可以概括为：
eq \f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
典型题型与解题方法