高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用教案设计

课程目标

学科素养

1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;  (2)根据解析式作出图象;  (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.

2.选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

3.身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

a.数学抽象：将实际问题转化为三角函数问题；

b.逻辑推理：运用三角函数解决问题；

c.数学运算：三角函数的恒等变换；

d.直观想象：由图像求函数关系式；

e.数学建模：由实际问题建立对应的函数模型；

f.数据分析：有采集的数据分析获得函数模型

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）创设问题情境

提出问题

     现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．

典例解析

问题１　某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位:s）与位移y（单位:mm）之间的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．

   请你查阅资料，了解振子的运动原理．

   振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移狔随时间狋的变化规律可以用函数y=Asin（ωt+φ ）来刻画．根据已知数据作出散点图，如图5.7.1所示．

    由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A＝20；振子振动的周期为0.6ｓ，即= 0.6 解得 ＝；再由初始状态（t＝０）振子的位移为-20，可得sinφ =－１，因此φ ＝- ．所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin（t - ） t∈[０，＋∞）．

归纳总结

     现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈［０，＋∞）表示，其中A＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：

    A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x＝０时的相位φ 称为初相．

问题２　如图5.7.2（1）所示的是某次实验测得的交变电流（单位：Ａ）随时间狋（单位：ｓ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7.2（２）．

（１）求电流随时间变化的函数解析式；

（２）当, , , 时，求电流．

请你查阅资料，了解交变电流的产生原理．

   由交变电流的产生原理可知，电流随时间的变化规律可用 =Asin（ωt+φ ）来刻

画，其中表示频率，A表示振幅，φ 表示初相．

由图5.7.2(2)可知，电流最大值为５Ａ，因此A＝５；电流变化的周期为ｓ，频率为５０Ｈｚ，即＝５０，解得ω＝100π；再由初始状态（t＝０）的电流约为4.33Ａ，可得sinφ =0.866，因此 φ 约为．

所以电流i随时间t变化的函数解析式是: i=5sin（100t+）,t∈[100，＋∞）．当t=时，   当t=时， 

当t=时，   当t=时，

通过开门见山，提出问题，让学生体会由实际问题建立三角函数模型的过程，培养和发展数学建模、数学抽象、直观想象的核心素养。

通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

三、当堂达标

1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)

A．该质点的运动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为5 cm

C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大

D．该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零

【解析】　由题图可知，该质点的振幅为5 cm.

【答案】　B

2．与图中曲线对应的函数解析式是(　　)

A．y＝|sin x|　　　　　　      B．y＝sin |x|

C．y＝－sin |x|                 D．y＝－|si n x|

【解析】　注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.

【答案】　C

3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)

A．[0,5]      B．[5,10]    C．[10,15]     D．[15,20]

【解析】　当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．故应选C.

【答案】　C

4．在电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值．

【解】　由题意得：T≤，即≤，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.

5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：

根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋b的图象．

(1)试根据以上数据，求出y＝Asin ωt＋b的表达式；

(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?

【解】　(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝.又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，

∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函数的表达式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．

(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sin t＋10≥11.5，

可得sin t≥，∴2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，

∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．

取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17；

而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意，舍)．

从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.

通过练习巩固本节所学知识，巩固运用三角函数分析实际问题的能力，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

四、小结

解三角函数应用题的基本步骤：

(1)审清题意；

(2)搜集整理数据，建立数学模型；

(3)讨论变量关系，求解数学模型；

(4)检验，作出结论．

五、作业

1. 课时练   2. 预习下节课内容

学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；